为进一步掌握电机相关原理概念整理的电机学笔记。
根据视频电机学（哈尔滨理工大学）p5-p10整理，若有错误敬请指正。
变压器概述
变压器的分类
用途：
(1)电力变压器：在电力系统中传送和分配电能。
(2)调压变压器：在电力网或实验室中调节电压。
(3)测量变压器：如电流互感器、电压互感器。
(4)专用变压器：电炉变压器、电焊变压器、整流变压器、高压实验变压器、仪器用小功率变压器等。
绕组数目：双绕组变压器、三绕组变压器。
铁芯结构：芯式变压器、壳式变压器。
相数：单相变压器、三相变压器、多相变压器（六相、十二相等）。
冷却方式：油浸式变压器、干式变压器。
变压器的基本结构
铁芯与绕组，是变压器最基本的两个组成部件，二者合称为变压器的器身。
对于油浸式变压器，还有油箱、绝缘管套等组件。
铁芯：构成变压器的磁路，机械骨架，由硅钢片制成。
大型变压器多为芯式并采用油浸，小型变压器多采用壳式。
硅钢片按碾压方向分为热轧（无碾压方向）与冷轧（有方向性）两种，目前多采用冷轧。
为了进一步降低空载电流、空载损耗、铁芯叠片采用全斜接缝，上层与下层叠片接缝错开。
绕组：构成变压器的电路。
根据高低压绕组在铁芯柱上的相对位置，变压器绕组分为同心式与交叠式两种。
油箱：变压器的外壳，装载变压器油起到绝缘与散热的作用。
绝缘管套：使高压引线与接地的油箱绝缘。
变压器的额定值
额定容量\(S_n\)：视在功率，单位kVA，规定一次侧、二次侧额定容量设计值相等。
额定电压：\(U_{1N}\)为额定状态下一次绕组所加电压值，\(U_{2N}\)为一次绕组所加电压为\(U_{1N}\)时二次侧的空载电压值。
三相变压器的额定电压指线电压。
额定电流：\(I_{1N}=\frac{S_N}{U_{1N}} \quad
I_{2N}=\frac{S_N}{U_{2N}}\)
对于三相变压器\(I_{1N}=\frac{S_N}{\sqrt 3
U_{1N}} \quad I_{2N}=\frac{S_N}{\sqrt 3 U_{2N}}\)
三相变压器的额定电压指线电流。
额定频率：\(f_N=50Hz\)
此外，额定值还包括变压器效率、温升等。
变压器的空载运行
一次侧接电源电压，二次侧开路。假定\(e\)、\(i\)同方向，\(\Phi\)的方向与\(i\)的方向符合右手螺旋定则。
图1
空载运行
图2
空载运行关系
注：电压箭头方向为由高到低，电势箭头方向为由低到高。
电势按照由低到高，也就是由负极到正极的方向画箭头，该方向与电压方向相反。
KVL公式仍然可以按照由高到低，也就是由正极到负极的方式列写，不要被电势箭头方向干扰。
变比\(k=\left| \frac{u_1}{u_2} \right|=\left|
\frac{E_1}{E_2} \right|=\frac{N_1}{N_2}\)
主磁通\(\Phi\)是同时与一次侧绕组与二次侧绕组交链的磁通，其磁力线沿铁芯闭合。受铁磁材料饱和现象影响，磁阻为非常数，\(\Phi\)与\(i_0\)呈非线性关系。
漏磁通\(\Phi_{1\sigma}\)仅与一次侧绕组相交链，不能传递能量，仅起电压降的作用。沿非铁磁材料(油、空气)闭合，磁阻为常数，\(\Phi_{1\sigma}\)与\(i_0\)呈线性关系。
主磁通感应电动势\(\Phi=\Phi_m sin \omega
t\)
\(\Rightarrow e_1=-N_1\frac{d\Phi}{dt}=-N_1
\omega \Phi_m cos \omega t=N_1 \omega \Phi_m sin(\omega
t-\frac{\pi}{2})=\sqrt 2 E_1 sin(\omega t-\frac{\pi}{2})\)
其中\(E_1=\frac{N_1 \omega \Phi_m}{\sqrt
2}=\frac{N_1 2\pi f}{\sqrt 2}\Phi_m=4.44N_1 f \Phi_m\)
\(4.44\approx \sqrt 2
\pi\)
\(\Rightarrow \Phi_m=\frac{E_1}{4.44N_1
f}\approx \frac{U_1}{4.44N_1 f}\)
同理\(E_2=4.44N_2 f \Phi_m\)
化为相量形式\(\dot E_1 = -j4.44N_1 f \dot
\Phi_m \quad \dot E_2 = -j4.44N_2 f \dot \Phi_m\)
图3
空载运行相位关系
这里将空载状态下的变压器等效为电路。其中\(R_{Fe}\)为激磁电阻（铁耗分量产生），\(X_\mu\)为激磁电抗（磁化分量产生）。
图4
空载运行等效电路
\(R_m=R_{Fe}\frac{X_{\mu}^2}{X_{\mu}^2+R_{Fe}^2}
\quad X_m=X_{\mu}\frac{R_{Fe}^2}{X_{\mu}^2+R_{Fe}^2}\)
\(-\dot E_1=\dot I_m Z_m=\dot
I_m(R_m+jX_m)\)
注：\(-\dot
E_1\)是电势不是电压，箭头方向与电压的相反，所以等式左侧有负号。
\(=\dot I_{10}R_1+j\dot I_{10}\dot X_{1\sigma} - \dot E_1=\dot I_{10}(R_1+jX_{1\sigma})-\dot E_1\)
\(\dot E_2 = \dot U_2\)
\(X_{1\sigma}=\omega L_{1\sigma}=2\pi fL_{1\sigma}\)
漏电感\(L_{1\sigma}=\frac{\Psi_{1\sigma}}{i_0}=\frac{N_1\Phi_{1\sigma}}{i_0}=\frac{N_1}{i_0}\frac{F_{1\sigma}}{R_{1\sigma}}=N_1^2 \Lambda_{1\sigma}\)
考虑了漏磁通与内阻后的变压器空载运行等效电路如下图所示：
图5
空载运行等效电路
变压器的负载运行
一次侧接电源电压，二次接入负载\(Z_L\)。
图6
负载运行
图7
负载运行关系
磁动势平衡方程
设一次侧绕组磁动势\(\dot
F_1\)，二次侧绕组磁动势\(\dot
F_2\)，合成磁动势\(\dot
F_0\)。
只考虑主磁通\(\dot
\Phi_m\)时，合成磁动势与空载磁动势近似相等，负载励磁电流与空载电流\(\dot
I_0\)近似相等，负载时励磁电流由一次侧供给，得
\(\dot F_1+\dot F_2=\dot F_0 \Rightarrow N_1
\dot I_1 + N_2 \dot I_2 = N_1 \dot I_0\)
\(\Rightarrow \dot I_1 + \dot
I_2(\frac{N_2}{N_1})=\dot I_0\)
\(\Rightarrow \dot I_1 = \dot I_0+(-\frac{\dot
I_2}{k})=\dot I_0+\dot I_{1L}\)
式中\(\dot I_{1L}=-\frac{\dot
I_2}{k}\)为一次侧电流负载分量。
\(F_m=F_1+F_2 \Rightarrow N_1 l_m=N_1
i_1+N_2 i_2\)
\(\Rightarrow \dot N_1 \dot I_m=\dot N_1
\dot I_1+\dot N_2 \dot I_2\)
不清楚这里为什么是\(F_m\)，以及\(F_m\)与\(F_0\)的关系。
有没有一种可能，\(F_m\)就是\(F_0\)。
能量守恒方程
二次侧绕组向外发出多少能量，一次侧绕组就从电网接收多少能量。
等式右侧负号体现了能量传递的方向。
\(E_1 I_{1L}=(kE_2)(-\frac{1}{k}I_2)=-E_2
I_2\)
电压平衡方程
图8
负载运行关系
\(\dot E_{1\sigma}=-j\dot I_1 X_{1_\sigma} \quad \dot E_{2\sigma}=-j\dot I_2 X_{2_\sigma}\)
变压器基本方程组：
一次绕组电压方程：\(u_1=i_1
R_1-e_{1\sigma}-e_1 \quad \Rightarrow \quad \dot U_1=\dot
I_1(R_1+jX_{1\sigma})-\dot E_1\)
二次绕组电压方程：\(e_2+e_{2\sigma}=i_2
R_2+u_2 \quad \Rightarrow \quad \dot U_2=\dot E_2-\dot
I_2(R_2+jX_{2\sigma})\)
合成磁势方程：\(N_1 i_m=N_1 i_1+N_2 i_2 \quad
\Rightarrow \quad N_1 \dot I_m=N_1 \dot I_1 +N_2 \dot I_2\)
电势关系：\(\frac{e_1}{e_2}=\frac{N_1}{N_2}=k
\quad \Rightarrow \quad \frac{\dot E_1}{\dot
E_2}=\frac{N_1}{N_2}=k\)
激磁回路的参数关系：\(\dot E_1=-\dot I_m Z_m
\quad \Rightarrow \quad \dot E_1=-\dot I_m(R_m+jX_m)\)
变压器的归算
以二次侧折算到一次侧为例，用匝数为\(N_1\)的等效绕组代替原来的匝数为\(N_2\)的二次侧绕组。
折算条件是前后的磁动势\(\dot
F_2\)不变。
(1)电动势归算：\(\frac{E_2'}{E_2}=\frac{N_1}{N_2}=k \Rightarrow
E_2'=kE_2\)
(2)电流归算：\(N_2 I_2=N_1 I_2'
\Rightarrow I_2'=\frac{N_2}{N_1}I_2=\frac{1}{k}I_2\)
验证一下是否能量守恒：\(E_2'I_2'=kE_2
\frac{1}{k}I_2=E_2 I_2\)
(3)电压归算：\(U_2I_2=U_2'I_2'\Rightarrow
U_2'=\frac{I_2}{I_2'}U_2=kU_2\)
(4)阻抗归算：\(R_2I_2^2=R_2'{I_2'}^2\Rightarrow
R_2'=(\frac{I_2}{I_2'})^2 R_2=k^2R_2\)
同理\(X_{2\sigma}'=k^2X_{2\sigma} \quad
Z_{2\sigma}'=k^2Z_{2\sigma} \quad\)（式中\(Z_{2\sigma}=R_2+X_{2\sigma}\)）
总结：单位为V，乘以k；单位为A，除以k；单位为Ω，乘以k²。
若是一次侧折算到二次侧，同理可知单位为V时除以k，单位为A时乘以k，单位为Ω时除以k²。
归算后的变压器基本方程组：
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \dot
U_1=\dot I_1(R_1+jX_{1\sigma})-\dot E_1① \\ U_2'=\dot E_2'-\dot
I_2'(R_2'+jX_{2\sigma}')② \\ I_m=\dot I_1+\dot I_2'③ \\
\dot E_1 = \dot E_2'=-\dot I_m(R_m+jX_m)④
\end{array}}\right.\)
变压器的等效电路与相量图
图9
T型等效电路
上图体现了T型等效电路的形成过程。
首先根据上文所得的变压器基本方程组中的式①与式②得到图(a)所示的两个电路；
然后根据式③可知\(\dot E_1\)与\(\dot
E_2'\)是等电位，将两个电路组合，如图(b)；
最后根据式④得到完整的T型等效电路，如图(c)。
根据变压器基本方程组画出如下图所示的相量图。
先画负载，以负载电压\(\dot
U_2'\)为基准，确定负载电流\(\dot
I_2'\)（这里采用感性负载，其电压超前于电流，夹角\(\varphi_2\)为功率因数角）。
接下来画漏阻抗压降。\(\dot
I_2'R_2'\)与\(\dot
I_2'\)平行，\(jI_2'X_{2\sigma}'\)超前于电流90度。
得到\(\dot E_2'=\dot U_2'+\dot
I_2'R_2'+jI_2'X_{2\sigma}'\)（变压器基本方程组公式②）
其中漏阻抗压降相对于负载电压而言非常小，这里对其放大来方便作图。
画主磁通\(\dot
\Phi_m\)，它超前于\(\dot
E_2'\) 90度。
画\(-\dot E_1\)，其与\(\dot E_2'\)方向相反（负号）。
确定\(\dot
I_m\)（图中为\(\dot
I_0\)，可以看作近似相等） \(\dot
I_m\)与\(-\dot
E_1\)的夹角为铁耗角，\(\psi=tan^{-1}\frac{X_m}{R_m}\)
画\(-\dot
I_2'\)，根据变压器基本方程组公式③，得到\(\dot I_1=-\dot I_2'+I_m\)
以\(-\dot E_1\)终点为起点，画与\(\dot I_1\)平行的\(\dot I_1 R_1\)，超前90度的\(j\dot I_1X_{1\sigma}\)。
得到\(\dot U_1=\dot I_1(R_1+jX_{1\sigma})-\dot
E_1\)（变压器基本方程组公式①），相量图至此绘制完成。
图10
负载运行向量图
因此可以对等效电路做一定的简化，简化后的等效电路如下图所示。
图11
简化等效电路
取短路电阻\(R_K=R_1+R_2'\)，短路电抗\(X_k=X_{1\sigma}+X_{2\sigma}'\)，短路阻抗\(Z_k=R_k+jX_K\)。
得到电压方程\(\dot U_1 = \dot I_1(R_k+jX_k)-\dot U_2'\)
进而得到简化的向量图如下图所示：
图12
简化相量图（感性负载）
变压器的参数测定
空载实验
在低压侧加压（考虑精度与人身安全），二次侧（高压侧）开路。空载输入电压\(U_0\)先取\((1.2-1.25)U_{1N}\)，然后逐步降低电压，画出\(I_0=f(U_0)\)与\(p_0=f(U_0)\)关系曲线。
由上一章节的论述可知，\(H \propto I \quad B \propto \Phi \propto E \approx U_0\)，故B-H曲线形如\(U_0-I_0\)关系曲线。
又由空载损耗\(p_0 \propto B^2\)可以推断出\(U_0-p_0\)关系曲线的形状。
空载损耗\(p_0\)可视作铁耗\(p_{Fe}\)。
图13
空载实验
变比\(k=\frac{U_{20}}{U_{1N}}\)（视频写法，意为高压侧比低压侧，与书存在冲突）
\(Z_m=\frac{U_0}{I_0} \quad
R_m=\frac{p_0}{I_0^2} \quad X_m=\sqrt{Z_m^2-R_m^2}\)
其中\(Z_1=R_1+jX_{1\sigma}\)的值远远小于\(Z_m\)，可忽略不计。
这里所测得值为低压侧的值。可以将结果乘以\(k^2\)折算到高压侧。
短路实验
在高压侧加压（电流小），施加的电压要远小于额定电压（\(U_k=(0.04-0.1)U_{1N}\)），二次侧短路。取\(I_{1k}=(1.2-1.25)I_{1N}\)，然后逐步降低电流（升高电压），画出\(I_k=f(U_k)\)与\(p_k=f(U_k)\)关系曲线。
因为施加的电压小，铁芯中主磁通很小，所以忽略励磁电流与铁芯损耗。此外电压小使得磁路不饱和，\(U_k-I_k\)关系曲线为直线。
短路损耗\(p_k\)可视作铜耗\(p_{Cuk}\)（电阻损耗），\(U_k-p_k\)关系曲线为二次曲线。
图14
短路实验
\(Z_k=\frac{U_k}{I_k} \quad
R_k=\frac{p_k}{I_k^2} \quad X_k=\sqrt{Z_k^2-R_k^2}\)
这里所测得值为高压侧的值。可以将结果乘以\(\frac{1}{k^2}\)折算到低压侧。
得到的\(R_k\)值会受温度影响而发生变化，下面介绍热态电阻及阻抗参数。
取基准温度为75℃，则在\(\theta\)温度下的电阻及阻抗公式如下
\(R_{k75℃}=\frac{235+75}{235+\theta}R_{k\theta}\)
\(Z_{k75℃}=\sqrt{R_{k75℃}+X_k^2}\)