为进一步掌握电机相关原理概念整理的电机学笔记。
根据视频电机学（哈尔滨理工大学）p11-p19整理，若有错误敬请指正。
三相变压器
三相变压器的分类
三相变压器按磁路可分为三相变压器组与芯式变压器两类。三相变压器组由三个单相变压器连接而成。各相主磁通有独立的磁路，互不关联。一次侧外加三相对称电压时，各相主磁通\(\dot \Phi_A,\dot \Phi_B,\dot \Phi_C\)对称，各相空载电流对称。
图1
三相变压器组
图2
三相芯式变压器
目前三相芯式变压器更为常用，部分大容量变压器采用的是三相变压器组，以方便运输。
三相变压器的连接
三相变压器的高压首端采用A,B,C标记，末端采用X,Y,Z，中性点为O；低压首端与末端采用对应的小写字母a,b,c,x,y,z。三相变压器的连接方法主要有星型连接(Y接)与角型连接(Δ接、D接)两种，如下图所示。
图3 三相变压器的连接方法
其中，Δ型连接有两种接法，一种是图中所示的AX→CZ→BY，另一种接法是AX→BY→CZ，前者更为常用。
按照高压侧与低压侧接法的不同，变压器的接法一共有四种，分别是Yy、Yd、Dy、Dd。其中Dd表示的是高压与低压侧均采用Δ型连接，这种接法在现实中不采用，其余三种接法比较常用。
Y接：\(\dot E_{AB}=\dot E_A-\dot E_B = \sqrt 3 \angle 30° \dot E_A\)
线电压超前于相电压30°，幅值为相电压\(\sqrt 3\)倍；线电流与相电流相等。
Δ接：\(\dot I_A=\dot I_{A'B'}-\dot I_{C'A'}= \sqrt 3 \angle -30° \dot I_{AB}\)
线电流滞后于相电流30°，幅值为相电流\(\sqrt 3\)倍；线电压与相电压相等。
图4
Y型与Δ型连接
单项变压器的连接组
单相变压器高低压绕组的相位关系有同向和反向两种。
图5
单项变压器的连接组
左图从首端A,a看去，两绕组绕向相同，\(\dot
E_A\)、\(\dot E_a\)与主磁通\(\dot \Phi_m\)均符合右手螺旋法则，\(\dot E_A\)与\(\dot
E_a\)同相位。等效电路如左图(c)所示，此时A与a是同名端。
右图从首端A,a看去，两绕组绕向相反，只有\(\dot
E_A\)与主磁通\(\dot
\Phi_m\)均符合右手螺旋法则，\(\dot
E_a\)不符合，\(\dot E_A\)与\(\dot
E_a\)反相位。等效电路如右图(c)所示，此时A与x是同名端，A与a是异名端。
连接组的表示方法为时钟表示法，该方法将高压绕组的电动势相量作为长针指向0点（竖直向上不是12点，毕竟又不是真正的时钟），低压绕组的电动势相量作为短针，并观察其指向对应的表盘数字（连接组号）。
左图连接组为\(Ii0\)，\(I\)和\(i\)表示高压与低压绕组为单相，0是连接组号，即低压绕组的电动势相量指向0点。
同理右图连接组为\(Ii6\)，低压绕组的电动势相量指向6点，也就是竖直向下的方向。
图6
同名端
如图5的两个线圈，左边线圈的电流是从1端流入，右边线圈的电流是从3端流入，两线圈产生的磁通方向是一致的（顺时针方向），则1端和3端为同名端，2端和4端为同名端，1端和4端为异名端，2端和3端为异名端。
换一种说法判定图4的同名端：对于变压器而言，A,B,C,a,b,c是线圈的电流流入端，按照电流方向、线圈绕组绕向以及右手螺旋法则，确定磁通\(\Phi\)的方向，若二者方向相同，则两个电流流入端为同名端，反之则为异名端。
三项变压器的连接组
对于三相变压器，同样适用于时钟表示法，即连接组号为\(\dot E_{ao}\)滞后于\(\dot E_{Ao}\)的相角除以30。
理论上Yy接法和Dd的连接组号可以为0、2、4、6、8、10，Yd接法和Dy接法的连接组号可以为1、3、5、7、9、11。
实际上对于1600kVA以下配电变压器采用Yy0、Dy11，1600kVA以上采用Yd11、Dy11。
高压侧与低压侧为Y接，高压侧与低压侧电动势同相位。
图7
Yy0连接组
相电动势\(\dot E_A,\dot E_B,\dot
E_C\)，对称互差120°，\(\dot E_{AB}=\dot
E_A-\dot E_B\)
对应的低压侧电动势与高压侧同方向。
高压侧Y接，低压侧Δ接，\(\dot E_{ao}\)滞后于\(\dot E_{Ao}\) 330°（\(\dot E_{Ao}\)超前于\(\dot E_{ao}\) 30°）
图8
Yd11连接组
其中\(\dot E_A\)与\(\dot E_{ca}\)反方向；\(\dot E_B\)与\(\dot E_{ab}\)反方向；\(\dot E_C\)与\(\dot E_{bc}\)反方向。
(3)Dy11连接组高压侧Δ接，低压侧Y接，\(\dot E_{ao}\)滞后于\(\dot E_{Ao}\) 330°（\(\dot E_{Ao}\)超前于\(\dot E_{ao}\) 30°）
图9
Dy11连接组
三相变压器的激磁电流、主磁通和感应电动势波形
在单项变压器空载运行时，若外施电压\(u\)波形为正弦波，由于\(u \approx e \propto \Phi\)，感应电动势\(e\)与主磁通\(\Phi\)的波形也为正弦波。若磁路饱和，励磁电流\(i_0\)波形将为尖顶波，尖顶波中除了基波外，还会包含较强的三次谐波，以及其他较弱的奇数次谐波（一般被忽略），如下图所示。
图10 正弦波电压产生的电流波形
图11 正弦波电流产生的磁通波形
(1)Yy连接的三相变压器
各相绕组的三次谐波相位差为120°×3=360°，即各相绕组的三次谐波同相位。
三相变压器组的磁路相互独立，当励磁电流为正弦波，主磁通波形为平顶波时，主磁通\(\Phi\)的三次谐波和基波一样可以沿铁芯闭合，且在铁芯饱和的情况下含量较大。
三次谐波电动势幅值可以达到基波幅值的45%~60%，甚至更大。
由于三次谐波电动势同相位，故线电动势不存在三次谐波，而在高压相绕组中，相电动势最大值可达到\(E_{11m}+E_{13m}\)，可能损坏绝缘，因此三相变压器组不能采用Yy连接。
三相芯式变压器磁路各相磁路相互关联。
对于三相基波磁通，\(\dot \Phi_{A1}+\dot
\Phi_{B1}+\dot \Phi_{C1}=0\)。
但对于三相谐波磁通，三相同相位，\(\dot
\Phi_{A3}=\dot \Phi_{B3}=\dot
\Phi_{C3}\)，不能沿铁芯闭合，会从铁轭处散射出去，穿过一段间隙，借道油箱壁闭合。
因此三相谐波磁通会遇到很大的磁阻，被大大的削弱，使得主磁通波形接近正弦波。
因此相电动势三次谐波很小，电动势波形接近正弦波。
由于三次谐波磁通通过油箱壁和其他铁构件时会产生涡流损耗，从而降低变压器效率，因此只在变压器容量不大于1600kVA时采用这种连接组。
(2)Dy及Yd连接的三相变压器
对于Dy连接的三相变压器，一次侧为角接，三相同相位的三次谐波电流可以流通，因此励磁电流中存在所需要的三次谐波分量，使主磁通与相电动势波形呈正弦波。
铁芯中的主磁通取决于一次侧绕组与二次侧绕组的合成磁动势，所以角接绕组在一次侧与二次侧没有区别，上诉结论亦适用于Yd连接的三相变压器。
容量大于1600kVA的三相变压器只能用Dy及Yd连接。
注：这一小节内容没完全搞明白，因此只摘抄总结了书上的内容。以后若有时间或者课题需要会结合视频内容重新整理。
标幺值
标幺值又称相对值，是实际值与基值的比值。
标幺值右上角标有“ * ”号。
基值通常为额定值。
(1)单相变压器
电压基值\(U_b\)：
一次侧电压基值\(U_{1b}=U_{1N}\)；二次侧电压基值\(U_{2b}=U_{2N}\)
电流基值\(I_b\)：
一次侧电流基值\(I_{1b}=I_{1N}\)；二次侧电流基值\(I_{2b}=I_{2N}\)
容量基值\(S_b=S_N=I_{1N}U_{1N}=I_{2N}U_{2N}=I_{1b}U_{1b}=I_{2b}U_{2b}\)
(2)三相变压器
线电压\(U_{Lb}=U_{LN}\) 线电流\(I_{Lb}=I_{LN}\)
相电压\(U_{\Phi b}=U_{\Phi N}\)
相电流\(I_{\Phi b}=I_{\Phi N}\)
容量\(S_b=S_N=\sqrt 3 U_{Lb}I_{Lb}=\sqrt 3
U_{N}I_{N}=3 U_{\Phi b}I_{\Phi b}=3 U_{\Phi N}I_{\Phi N}\)
注：三相变压器额定值是线值
阻抗基值\(Z_b=\frac{U_{\Phi b}}{I_{\Phi b}}=\frac{U_{\Phi N}}{I_{\Phi N}}\) 电阻\(R\)与电抗\(Z\)的基值也是阻抗基值。
举例：\(U_{2\Phi}^ * =\frac{U_{2\Phi}}{U_{2\Phi b}}=\frac{U_{2\Phi}}{U_{2\Phi N}} \quad X_{2\sigma}^*=\frac{X_{2\sigma}}{Z_{2b}}\)
(3)标幺值的特点
1.额定容量、额定电压、额定电流的标幺值均为1
（额定有功功率标幺值不是1）
2.相、线的对应标幺值相等
\(U_\Phi^*=U_L^* \quad
I_\Phi^*=I_L^*\)
3.单相与三相变压器功率表达式相同
\(S^*=U^* I^*\)
\(P^*=U^* I^* cos\varphi=S^*
cos\varphi\)
\(Q^*=U^* I^* sin\varphi=S^*
sin\varphi\)
4.归算前后的值相等
例：\(I_2^*=\frac{I_2}{I_{2N}}=\frac{I_2/k}{I_{2N}/k}=\frac{I_2'}{I_{1N}}=I_2^{'*}\)
5.基本方程组的形式不变
（可以将基本方程组中归算前后的值都转为标幺值，运算更为简便）
6.不论电力变压器容量差距多大，标幺值表示的参数及性能数据变化范围较小
例：空载电流\(I_0^*=0.5\% \sim
2.5\%\)，短路阻抗\(Z_k^*=4\% \sim
10.5\%\)
变压器的变化率和效率
电压变化率
电压变化率用于描述二次侧电压随负载变化而变化的大小。
电压变化率\(\Delta
U\%\)定义为变压器一次侧绕组施加额定电压，空载与负载两种工况下，二次侧电压之差与额定电压之比。
\(\Delta U\%=\frac{U_{20}-U_2}{U_{2N}}\times
100\%=\frac{U_{2N}-U_2}{U_{2N}}\times
100\%=\frac{U_{1N}-U_2'}{U_{1N}}\times 100\%\)
\(\Delta U\%=\beta (R_k^* cos\varphi_2 + X_k^*
sin\varphi_2)\times 100\%\)
式中\(\beta=\frac{I_1}{I_{1N}}=\frac{I_2}{I_{2N}}\)为负载系数，也可以看作标幺值。
证明过程略，由证明结果可知电压变化率与短路参数、负载系数、负载功率因数有关。
电力变压器中一般\(X_k \gg
R_k\)。
负载为纯电阻时，\(cos\varphi_2=1,sin\varphi_2=0\)，\(\Delta U\%\)很小；
负载为感性负载时，\(\varphi_2>0\)（\(\varphi_2\)滞后），\(cos\varphi_2\)与\(sin\varphi_2\)均为正，\(\Delta U\%>0\)，二次侧电压\(U_2\)随电流\(I_2\)的增大而下降；
负载为容性负载时，\(\varphi_2<0\)（\(\varphi_2\)超前），\(cos\varphi_2>0\)，\(sin\varphi_2<0\)，若\(|R_k^* cos\varphi_2|<|X_k^*
sin\varphi_2|\)，则\(\Delta
U\%<0\)，二次侧电压\(U_2\)随电流\(I_2\)的增大而升高。
效率
\(\eta = \frac{P_2}{P_1} \times 100 \% =
\frac{P_1-\sum p}{P_1} \times 100 \%\)
式中\(P_1\)为一次侧绕组输入有功功率，\(P_2\)为二次侧绕组输出有功功率。
\(\sum
p=p_{Fe}+p_{Cu}\)为损耗，主要包括铁耗与铜耗两部分。
由前文可知，铁耗\(p_{Fe}=C_{Fe}f^{1.3}B_m^2V_{Fe}\)
\(B_m \propto \Phi_m \propto E_1 \propto U_1
\quad p_{Fe} \approx p_0\)
可以将额定电压下的空载损耗\(p_0\)视为铁耗（不变损耗），其值不随负载变化而变化。
铜耗\(p_{Cu}=m I_1^2 R_1 + m I_2^2 R_2=m I_1^2
R_1+ mI_2'^2 R_2{'}\)
\(\approx mI_2'^2 R_k{'}={I_2^*}^2
p_{kN}=\beta^2 p_{kN}\)
式中\(p_{kN}=mI_{1N}^2
R_k{'}\)
可以将额定电流下的短路损耗\(p_{kN}\)视为铜耗（可变损耗）。
可知\(\eta = \frac{P_2}{P_2+p_{Fe}+p_{Cu}}=1-\frac{p_{Fe}+p_{Cu}}{P_2+p_{Fe}+p_{Cu}}=\frac{\beta S_N cos\varphi_2}{\beta S_N cos\varphi_2+p_0+\beta^2 p_{kN}}\times 100 \%\)
图12
变压器的效率特性
效率随负载变化的曲线\(\eta
f(\beta)\)如上图所示。
该函数的极大值可以通过求导获得，当\(\frac{d\eta}{d\beta}=0\)时取得效率的极大值。
经过计算可知极大值在\(\beta_m=\sqrt\frac{p_0}{p_{kN}}\)处取得，\(\beta_m\)被称作负载系数。
\(\Rightarrow \beta_m^2
p_{kN}=p_0\)，即铜耗与铁耗相等时，变压器效率达到最大值。
变压器的并联运行
图13 两台变压器并联运行
变压器的并联运行指将变压器的一次侧、二次侧的端子连接到对应的公共母线上，共同对负载供电，如上图所示。
并联运行常用于大容量变电站，可以提高供电的可靠性。
变压器并联运行的理想条件是：
(1)空载时并联的各变压器一次侧间无环流；
(2)负载时各变压器的负载率相同；
(3)电流方向相同。
为达到理想条件，变压器并联运行时需满足的要求是：
(1)各变压器一、二次侧额定电压对应相等（\(U_N,k\)相等）；
(2)连接组号相同；
(3)短路阻抗标幺值\(Z_k^*\)相等。
其中条件(2)必须满足，条件(1)(3)允许有一定误差。
其中变比\(k\)误差须在0.5%以内，短路阻抗标幺值误差须在10%以内。
自耦变压器
自耦变压器是一次侧与二次侧共用一部分绕组的变压器。
图14
降压自耦变压器
变比：\(k_a=\frac{E_{1a}}{E_{2a}}=\frac{E_1+E_2}{E_2}=\frac{N_1+N_2}{N_2}=k+1\)
电压关系：
\(\dot U_{1a}=\dot U_1+\dot
U_2=(1+\frac{1}{k})\dot U_1=(k+1)\dot U_2\)
\(\dot U_{2a}=\dot U_2\)
电流关系：
\(\dot I_1+(-\dot I_2)=\dot I_m \quad
\frac{I_1}{I_2}=\frac{1}{k}\)
\(\dot I_{1a}=\dot I_1\)
\(\dot I_{2a}=\dot I_1+\dot
I_2=(1+\frac{1}{k})\dot I_2=(k+1)\dot I_1\)
容量关系（功率关系）：
\(S_N=U_{1N}I_{1N}=U_{2N}I_{2N}\)
\(S_{Na}=U_{1aN}I_{1aN}=(U_{1N}+U_{2N})I_{1N}=U_{1N}I_{1N}=U_{2N}I_{1N}\)
\(=S_N+\frac{1}{k}S_N=S_N+\frac{1}{k_a-1}S_N=S_N+S_N'\)
由上可知，自耦变压器的容量分为两部分，其中\(S_N\)为电磁容量（设计容量），\(S_N'\)为传导容量。
自耦变压器的特点：
(1)容量相同的情况下，自耦变压器相较于双绕组变压器的体积更小、消耗的材料更少，可以降低成本。
(2)短路阻抗标幺值\(Z_k^*\)更小，短路电流标幺值\(I_k^*\)更大。
(3)一二次侧有电的联系，使得其对绝缘的要求高，继电保护更为复杂。
三绕组变压器
三绕组变压器是有三个绕组（高压、中压、低压）的变压器。
以后若有时间或者课题需要会结合视频内容进行整理。
互感器
互感器分为电流互感器和电压互感器，其作用是通过低电流（低电压）测量高电流（高电压）。规定电流互感器二次侧额定电流为5A或1A，电压互感器二次侧额定电流为100V或\(100\sqrt 3V\)。
图15
电流互感器
电流互感器设计磁密\(B_m<0.2T\)，励磁电流很小，可以忽略不计，由磁动势平衡关系可知：\(\frac{I_1}{I_2}=\frac{N_2}{N_1}\)
电流互感器二次侧不能开路。
此外，为了安全起见，二次侧绕组的一个端子必须接地。
图16
电压互感器
电压互感器正常运行时相当于变压器的空载运行。
电压互感器设计磁密\(B_m=1.0 \sim
1.2T\)，让磁路不饱和，忽略阻抗漏压降，得到公式：\(\frac{U_1}{U_2}=\frac{N_1}{N_2}\)
电压互感器二次侧不能短路。
此外，为了安全起见，二次侧绕组的一个端子同铁芯一起必须接地。