电磁场数值分析与计算课程笔记
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目录
1.电磁场数值分析与计算01-场论
2.电磁场数值分析与计算02-Maxwell方程组
3.电磁场数值分析与计算03-电磁场数值分析的定解问题
4.电磁场数值分析与计算04-边界条件
5.电磁场数值分析与计算05-有限元方法介绍
6.电磁场数值分析与计算06-2D有限元分析
描述电的方程
库伦定律：真空中两个静止的点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上，同名电荷相斥，异名电荷相吸。
\[{\bf{F}}=\frac{q_1 q_2}{(4\pi\varepsilon_0
r)^2} {\bf{e_r}}\]
电通量：电场线通过一个曲面的数量。
高斯电场定律：电荷产生电场，场通过任意闭合曲面的通量正比于曲面所包围的电荷总量。
积分形式：\(\oint\limits_S {
{\bf{E}}d{\bf{s}}} = \frac{Q}{\varepsilon_0}\)
微分形式：\({ {\bf{\nabla}} \cdot {\bf{D}} =
\rho}\)或\({ {\bf{\nabla}} \cdot
{\bf{E}} = \frac{Q}{\varepsilon_0}}\)
注：处理的是空间中某一点处电场的散度与电荷密度的关系。
注：散度值不为零，说明电场是有源场。
注：\({\bf{D}} =
\varepsilon_0{\bf{E}}\)
注：高斯电场定律由库仑定律导出。
描述磁的方程
磁通量：磁感线通过一个曲面的数量。
高斯磁场定律：通过一个闭合曲面的磁通量与这个曲面包含的磁荷量成正比。
积分形式：\(\oint\limits_S {
{\bf{B}}d{\bf{s}}} = 0\)
注：场穿过闭合曲面的通量是零。
微分形式：\({ {\bf{\nabla}} \cdot {\bf{B}} =
0}\)
注：磁场的散度处处为零，说明磁场是无源场。
注：磁感线是一条闭合的曲线，闭合曲面包含的磁通量恒为零。
描述磁生电的方程
法拉第发现电磁感应现象：闭合回路中导体切割磁感线运动或改变磁场强度时，回路中产生电流。
结论：只要曲面的磁通量发生变化，回路中就会产生电流。
磁通量变化⇒曲面的边量感生电场⇒导体中的自由电荷定向移动⇒产生电流
楞次定律：感应电流磁场总是阻碍引起感应电流磁通的变化。
电场环流：电场沿闭合路径的积分\(\oint\limits_C
{ {\bf{E}}d{\bf{l}}}\)。
电场环流的意义：电场对沿着这条路径的单位电荷所作的功（电动势）。
法拉第电磁感应定律：曲面的磁通量变化率等于感生电场的环流。
物理意义：变化的磁通量如何产生电场。
积分形式：\(\oint\limits_C {
{\bf{E}}d{\bf{l}}} = - \frac{d}{dt}\int\limits_S {
{\bf{B}}d{\bf{s}}}\)
微分形式：\({ {\bf{\nabla}} \times {\bf{E}} =
- \frac{\partial {\bf{B}}}{\partial t}}\)
注：随时间变化的磁场产生环绕的电场。
描述电生磁的方程
磁效应：电流也能像磁铁一样影响周围的小磁针。电流周围存在磁场。
描述电流在空间中的磁场分布，电流微元在空间某个位置产生的磁场大小：【解1】比奥—萨伐尔定律(Biot-Savart Law)：
电流元\(Id{\bf{l}}\)在空间一点P产生的磁感应强度\(d{\bf{B}}=\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{Id{\bf{l}}\times {\bf{e_r}}}{r^2}\)
整个载流导线在P处的磁感强度\({\bf{B}}=\frac{\mu_0}{4\pi} \int\limits_L \frac{Id{\bf{l}}\times {\bf{e_r}}}{r^2}\)
图1
比奥—萨伐尔定律
电流元\(Id{\bf{l}}\)在空间某点P处产生的磁感应强度\(d{\bf{B}}\)的大小与电流元\(Id{\bf{l}}\)的大小成正比，与电流元\(Id{\bf{l}}\)所在处到P点的位置矢量和电流元\(Id{\bf{l}}\)之间的夹角的正弦成正比（叉乘），与电流元\(Id{\bf{l}}\)到P点的距离的平方成反比。
缺点：过于繁琐，不好计算。
【解2】安培环路定理：
磁场强度\(H\)沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流的代数和。
\(Hl=NI\)，\(\int\limits_l { {\bf{H}}d{\bf{l}}} = \sum
I\)
适合处理电流周围的磁场，但未能体现变化的电流所产生的磁场。
【解3】安培—麦克斯韦定律：穿过曲面的电通量的变化率和曲面包含的变化率等于感生电场的环流。
\[\oint\limits_C { {\bf{B}}d{\bf{l}}} = {\mu
_0}({I_{enc}} + {\varepsilon _0}\frac{d}{dt}\int\limits_s {
{\bf{E}}d{\bf{s}}} )\] \[\oint\limits_C { {\bf{H}}d{\bf{l}}} = {I_{enc}}
+ {\varepsilon _0}\frac{d}{dt}\int\limits_s {
{\bf{E}}d{\bf{s}}}\]
该定律阐明磁场可以用两种方法生成。一种是靠传导电流，另一种是靠时变电场，或称位移电流。
其中\(I_{enc}\)为包含(enclosed)在闭合路径里的总电流（传导电流），也是安培环路定理中的\(\sum I\)。
\({\varepsilon _0}\frac{d}{dt}\int\limits_s{
{\bf{E}}d{\bf{s}}}\)是电场的变化率（位移电流），\(\varepsilon _0\)为静电常数，\(\frac{d}{dt}\int\limits_s{
{\bf{E}}d{\bf{s}}}\)是电通量的变化率（描述变化的电场）。
微分形式：\({\bf{\nabla}} \times {\bf{H}} =
{\bf{J}} + \frac{\partial {\bf{D}}}{\partial t}\)
注：电流及变化的电场能产生环绕的磁场。
电磁性能关系式
媒质的本构关系式：
\({\bf{D}}=\varepsilon{\bf{E}}\)，\({\bf{B}}=\mu{\bf{H}}\)，\({\bf{J}}=\sigma{\bf{E}}\)
其中\(\varepsilon\)为电容率（介电常数），单位F/m。
常见绝缘材料有油、绝缘纸。
真空电容率\(\varepsilon_0=8.85\times
10^{-12}F/m\)，相对电容率（相对于真空电容率的倍数）\(\varepsilon_{r空气}=1.005\)，\(\varepsilon_{r水}=81.5\)。
其中\(\mu\)为磁导率，单位H/m。
常见导磁材料有硅钢片、永磁体。
真空磁导率\(\mu_0=4\pi\times
10^{-7}H/m\)，相对磁导率\(\mu_{r空气}=1\)，\(\mu_{r硅钢片}=7000 \sim 10000\)。
其中\(\sigma\)为电导率，单位S/m，反映电荷流动的难易程度。其倒数为电阻率\(\rho\)，单位为\(\Omega \cdot m\)。
常见导电材料有铜和铝。其电导率\(\sigma_{Cu}=5.96 \times 10^7 S/m\)，\(\sigma_{Al}=2.2 \times 10^7 S/m\)。
电流连续性方程
积分形式：描述一定区域中场的规律，便于说明方程的物理意义。 \[\oint\limits_S { {\bf{J}}d{\bf{s}}} = \int\limits_V { {\bf{\nabla}} \times {\bf{J}}}dV = -\frac{\partial Q}{\partial t}\] 微分形式：描述场域中某一点的特性，便于计算机运算。 \[{\bf{\nabla}} \times {\bf{J}} = -\frac{\partial \rho}{\partial t}\]
洛伦兹力方程
\[{\bf{F}}=q({\bf{E}}+{\bf{v}} \times
{\bf{B}})\] 其中前半部分\({\bf{F}}=q{\bf{E}}\)为电场力公式，即电荷置于电场中所受到的作用力。
后半部分\({\bf{F}}=q{\bf{v}} \times
{\bf{B}}\)为磁场力，是磁场对运动电荷的作用力。
矢量场的分类
按照场变量随时间的变化速度，可以分为静态场、似稳场（缓变场）、高频电磁场。
似稳场指的是频率较低（如50Hz）的电场。似稳场只考虑磁场变化产生的电场（传导电流），不考虑电场变化产生的磁场（位移电流）。
电生磁方程式\({\bf{\nabla}} \times {\bf{H}} =
{\bf{J}} + \frac{\partial {\bf{D}}}{\partial
t}\)的右边第二项\(\frac{\partial
{\bf{D}}}{\partial t}\)对应位移电流（记作\(\bf{J_D}\)），其可以用向量表示为\(j\omega \dot D\)，结合电磁性能关系式\({\bf{D}}=\varepsilon{\bf{E}}\)与\({\bf{J}}=\sigma{\bf{E}}\)可以得到下面的式子：
\[\frac{J_D}{J}=\frac{\omega D}{\sigma
E}=\frac{\omega\varepsilon E}{\sigma E}=2\pi
f\frac{\varepsilon}{\sigma}\] 这里取\(f=50Hz\)、\(\varepsilon=8.85\times 10^{-12}F/m\)、\(\sigma=10^7 S/m\)，得到的比值\(\frac{J_D}{J}<10^{-7}\)，这说明\(J_D \ll
J\)。说明在低频电磁场（电工装备工程问题）中，位移电流\(J_D\)可以忽略。
静态场(Magnetostatic Field)指的是各场量不随时间变化的矢量场。
\[静电场\left\{
{\begin{array}{*{20}{c}} 电荷在空间的位置固定不变 \\
所有电荷密度不随时间变化 \\ 电荷是电场的源 \end{array}}
\right.\xrightarrow{求解后}\left\{
{\begin{array}{*{20}{c}} 所研究区域中任意一点的电场强度 \\
所研究区域中电位的分布 \\ 电荷在电场中收到的力 \\
所研究区域中的能量W_e=\frac{1}{2}{\bf{D}}{\bf{E}} \end{array}}
\right.\] \[电荷 \to 电流\left\{
{\begin{array}{*{20}{c}}{恒定电流 \Rightarrow 恒定磁场\left\{
{\begin{array}{*{20}{c}}研究区域内任意一点的磁场强度 \\
研究区域内任意一点的磁感应强度 \\ 磁通量\Phi \\
研究区域内的能量分布W_m=\frac{1}{2}{\bf{B}}{\bf{H}} \end{array}}
\right.} \\ 时变电流 \Rightarrow 时变磁场 \end{array}} \right.\]
时变场(Time Varying Field)指的是激励(Excitation)随时间变化的磁场。
磁场分析：
含有导电材料的时变场⇒涡流场(Eddy Current Field)
激励电流随时间按正弦变化⇒正弦稳态涡流场
激励电流随时间按任意波形变化⇒瞬态场(Transient Field)