线性系统理论课程笔记
对应教材内容第一章 绪论的内容
目录
- 线性系统理论01-绪论
- 线性系统理论02-线性系统的状态空间描述
- 线性系统理论03-线性系统的运动分析
- 线性系统理论04-线性系统的能控性和能观测性
- 线性系统理论05-系统运动的稳定性
- 线性系统理论06-线性反馈系统的时间域综合
系统控制理论的研究对象
系统
系统控制理论的研究对象是系统。
系统是由相互关联和相互制约的若干“部分”所组成的具有特定功能的一个“整体”
。
系统有以下三个基本特征：
(1)整体性
一是强调系统在结构上的整体性，即系统由“部分”组成。
二是突出系统行为和功能由整体所决定。
(2)抽象性
常常抽去具体系统的物理、自然和社会含义，而把它抽象为一个一般意义下的系统而加以研究。
(3)相对性
某个系统的部分可以是一个由更小的部分组成的一个系统，某个系统也可以是一个更大的系统的一个组成部分。
动态系统
动态系统是运动状态按确定规律或确定统计规律随时间演化的一类系统，又称动力学系统。
动态系统的行为可以由其各类变量间的关系来表征。系统的变量可分为三类：
(1)输入变量组：反映外部对系统的影响或作用，如控制、投入、扰动等。
(2)内部状态变量组：表征系统状态行为。
(3)输出变量组：反映系统对外部作用或影响，如响应、产出等。
系统动态过程的数学描述具有两类基本形式：
(1)系统的内部描述——白箱描述：系统内部机理已知，由状态方程和输出方程组成。
(2)系统的外部描述——黑箱描述：系统内部机理未知，描述输入与输出变量组的关系。
动态系统的分类：
(1)按其机制可分为连续变量动态系统(Continuous Variable Dynamic
Systems,CVDS)与离散事件动态系统(Discrete Event Dynamic
Systems,DEDS)。本课程研究的是连续变量动态系统。
(2)从特性的角度，连续变量动态系统按其模型的关系属性可分为线性系统(Linear
Systems)和非线性系统(Non-Linear
Systems)，连续变量动态系统按其参数的空间分布可分为集中参数系统(Lumped
Parameter Systems)和分布参数系统(Distributed Parameter
Systems)。集中参数系统是有穷维系统，系统中的参量要么是定常的，要么是时间的函数，可以用常微分方程来描述；分布参数系统是无穷维系统，需要考虑参数在空间中的分布，需要用偏微分方程描述，如电磁场、引力场、温度场等物理场，环境系统、生态系统、社会系统等。本课程研究的是线性系统和集中参数系统。
(3)从作用时间类型角度，动态系统可分为连续时间系统(Continuous Time
Systems)和离散时间系统(Discrete Time
Systems)。连续时间系统的动态过程模型描述为微分方程的形式，离散时间系统的动态过程模型描述为差分方程的形式。本课程主要研究连续时间系统，也涉及离散时间系统。
线性系统
线性系统拥有叠加性和齐次性，换句话说，可以通过是否具备叠加性与齐次性来判断系统是否为线性系统。
若某系统的数学描述为\(L\)，任意两个输入变量\(u_1\)和\(u_2\)以及任意两个有限常数\(c_1\)和\(c_2\) ，则有：
(1)叠加性 \(L(u_1 + u_2) = L(u_1) +
L(u_2)\)
(2)齐次性 \(L({c_1}{u_1}) =
{c_1}L({u_1})\)
(3)叠加原理（综合考虑叠加性与齐次性可以得到叠加原理） \(L({c_1}{u_1} + {c_2}{u_2}) = {c_1}L({u_1}) +
{c_2}L({u_2})\)
线性系统可分为线性时不变系统(Linear Time-invariant Systems)和线性时变系统(Linear Time-varying Systems)，其中线性时不变系统指的是描述系统动态过程的线性微分方程或差分方程中的每个系数都不会随时间变化而变化。本课程主要研究线性时不变系统。
系统模型
系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述。
线性系统理论的基本概貌
控制理论发展史
1784年，James Watt发明蒸汽机调速装置——反馈的应用。
1877年，E.J. Routh稳定性分析稳定性分析——代数判据。
1868年，J.C. Maxwell稳定判据——系数代数判据。
1895年，A. Hurwitz稳定性分析稳定性分析—— 代数判据。
1945年，H.W. Bode频率法。
1948年，W.R. Evans根轨迹法。
至此，古典控制理论（传递函数法）体系确定。
1950年代，是个控制理论的“混乱时期”。
1960年代，产生了“现代控制理论”（状态空间法）
Bellman动态规划法
Pontryagin极大值原理
Kallman可控、可观性理论
极点配置、观测器、内模原理......
至1970年代前半期，为状态空间法的全盛时期。
1970年代后期，状态空间法的应用遇到了困难，进入了反省时期。
1980年代，在计算机技术的支持下，多变量系统的频域设计法出现了。
既约分解表示法、最优控制、自适应控制、鲁棒控制、H∞控制、模糊控制......
古典控制理论与现代控制理论（采用状态空间法）的对比分析
古典控制理论的局限性：
(1)局限于线性定常系统，难以解决非线性、时变系统等问题。
(2)采用输入/输出描述（传函），忽视了系统结构的内在特性，难以解决多输入/多输出系统（耦合）。
(3)处理方法上，只提供分析方法，而不是综合方法。设计方法为“试错法”，无法得到最好的设计。
状态空间法的特点：
(1)在把握控制系统的动力学本质（内在特性）的基础上，进行合理的设计。
(2)控制性能指标是明确的，可以得到最佳设计（系统化的设计方法）。
(3)需要知道描述控制系统全体的数学模型（缺一不可）。
(4)难以利用人们的经验，直观性差。
| 古典控制理论 | 现代控制理论 | |
|---|---|---|
| 研究对象 | 单输入单输出（SISO）的线性、连续、时不变系统 | 线性和非线性、定常和时变、单变量和多变量(MIMO)、连续和离散的系统 |
| 数学基础 | 处理单变量的线性定常系统 数学问题：传递函数 数学工具：拉氏变换 |
处理多变量的问题 数学基础：矩阵和向量空间理论 |
| 计算手段 | 手工计算 | 计算机 |
| 研究方法 | 频域上的伯德图和相轨迹法 以系统的输入输出特性作为研究的依据 |
时域方法 建立在状态空间描述法的基础上 |
| 研究观点 | 就事论事;
针对给定的输入，分析输出的特性，给定某种指标，构成校正网络； 主要着眼于系统的外部联系。 |
着眼于系统的内在规律性。 分析：揭示系统对控制函数及初始状态的依赖关系，指出其可能影响的程度及性质。 综合：揭示系统在某种指标下和其它限制条件下所能达到的最佳效果，即最优控制。 |
线性系统理论发展史
1950年代中期：经典线性系统理论
数学基础：拉普拉斯变换
数学模型：传递函数
分析和综合方法：频率响应法
适用于：单输入—单输出线性定常系统（多输入多输入—多输出系统难于处理）
1960年代：现代线性系统理论
采用状态空间描述这种系统内部描述来取代经典线性系统理论中传递函数形式的外部输入输出描述。
适用于单输入—单输出系统与多输入—多输出系统，线性时不变与线性时变系统。
引入能控性和能观测性这两个表征系统结构特性的概念。
1960年代后期及1970年代：
几何理论：从几何方法角度来研究线性系统的结构和特征
代数理论：以抽象代数为工具
多变量频域理论：推广经典频率法
线性系统理论的主要学派
(1)线性系统的状态空间法
描述系统动态过程的数学模型是反映输入变量、状态变量和输出变量间关系的向量方程，称作状态方程和输出方程。
状态空间法是一种时间域方法，其数学基础为线性代数和矩阵理论。
系统分析和综合涉及的计算主要为矩阵运算和矩阵变换。
(2)线性系统的几何理论
把对线性系统的研究转化为状态空间中的几何问题。
数学工具：几何形式的线性代数。
基本思想：把能控性和能观测性表述为不同的状态子空间的几何属性。
新概念：(A,B)不变子空间和(A,B)能控子空间。
特点：简捷明了，不用矩阵运算，结果比较容易化为相应的矩阵运算。比较抽象，需要一定数学基础。
(3)线性系统的代数理论
用抽象代数工具研究线性系统。
把系统的各组变量间关系看作为某些代数结构之间的映射关系。
实现对线性系统的描述和分析的形式化和抽象化，变为纯粹的代数问题。
(4)线性系统的多变量频域方法
以状态空间法为基础，采用频率域的系统描述和计算方法，以分析线性时不变系统。
其分析综合方法有两种，一是频率域方法，二是多项式矩阵方法。
相对于状态空间法，多变量频域方法物理直观性强，便于综合和调整。
本课程的研究范围
研究对象
线性系统：实际系统理想化了的模型，可用线性微分方程或差分方程来描述。
动态系统，动力学系统：用一组微分方程或差分方程来描述。对系统的运动和各种性质给出严格和定量的数学描述。
数学工具：数学变换（傅里叶变换，拉普拉斯变换）、线性代数。
实际系统是非线性的，在一定条件下将其近似处理可以得到线性系统。
本课程主要研究定常、时不变的线性系统。
主要任务
研究线性系统状态的运动规律和改变这个运动规律的可能性和方法。建立系统结构、参数、行为和性能间的确定的和定量的关系。
分析问题：研究系统运动规律，认识系统。
综合问题：研究改变运动规律的可能性和方法，改造系统。
建立系统的数学模型
变量：状态变量、输入变量、输出变量、扰动变量。
参量：系统的参数或表征系统性能的参数。
常量：不随时间改变的参数。
时间域模型：微分方程组或差分方程组。
频率域模型：传递函数和频率响应。
建模方法：实验法、解析法。
定量分析：系统对于某个输入信号的响应和性能。
定性分析：稳定性、能控性、能观测性等。
书中将线性系统理论分为“时间域理论”与“复频率域理论”。本课程研究的是时间域理论，对应书中前六章。
系统描述
线性系统时间域理论中，主要采用系统的内部描述，即状态空间描述，其数学模型为： \[\eqalign{& {\bf{\dot x} }(t) = {\bf{Ax} }(t) + {\bf{Bu} }(t) \cr & {\bf{y} }(t) = {\bf{Cx} }(t) + {\bf{Du} }(t) \cr}\] 上式是向量方程形式表示的一阶微分方程组和变换方程组，前者为状态方程，后者为输出方程。