线性系统理论课程笔记
对应教材内容第五章 系统运动的稳定性的内容
外部稳定性与内部稳定性
外部稳定性
定义：称一个因果系统为外部稳定，如果对任意一个有界输入\(u(t)\)，即满足条件\(\left\| {y(t)} \right\| \leqslant {\beta_1} <
\infty\)的一个任意输入\(u(t)\)对应的输出\(y(t)\)均有界，即\(\left\| {y(t)} \right\| \leqslant {\beta_2} <
\infty\)
有界输入、有界输出(Bound Input Bound Output,BIBO)
结论：对零初始条件连续线性时不变系统，令初始时刻\(t_0=0\)，则系统BIBO稳定的充要条件为传递函数矩阵\(G(s)\)的所有极点均具有负实部。
内部稳定性
定义：称连续线性时不变系统在时刻\(t_0\)为内部稳定，是指由时刻\(t_0\)任意非零初始状态\(x(t_0)=x_0\)引起的状态零输入响应\(x_{ou}(t)\)时所有\(t \in
[t_0,\infty)\)为有界并满足渐近属性\(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {X_{ou}}(t)
= 0\)
\(\dot x=Ax
\quad\)内部稳定是自治系统状态运动的稳定性。
结论：对\(n\)维连续线性时不变自治系统\(\dot x=Ax+Bu \quad
x(0)=x_0\)，系统内部稳定即渐近稳定的充分必要条件为\(e^{At}\)满足\(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {e^{At}} =
0\)
两者之间的关系
对于连续线性时不变系统，若系统为内部稳定，则系统必为外部稳定。（反之不成立）
李亚普诺夫(Lyapunov)意义下的稳定性
Lyapunov意义下的稳定性
\(\left\| x_0-x_e \right\| \leqslant \delta
(\varepsilon ,{t_0})\)
\(\left\| \varphi(t;x_0,t_0) - x_e \right\|
\leqslant \varepsilon\)
实质：只能保证系统受扰运动相对于平衡状态的有界性，不能保证系统受扰运动相对于平衡状态的渐近性。
定义：称自治系统的孤立平衡状态在\(x_e=0\)在时刻\(t_0\)为渐近稳定
(1)\(x_e=0\)在时刻\(t_0\)为Lyapunov意义下的稳定。
(2)对实数\(\delta(\varepsilon,t_0)>0\)和任给实数\(\mu>0\)，都对应存在实数\(T(\mu,\delta,t_0)>0\)，使任一初始状态\(x_0\)出发的受扰运动\(\varphi(t;x_0,t_0)\)满足\(\left\| \varphi(t;x_0,t_0) - x_e \right\|
\leqslant \mu\)
Lyapunov第一方法和第二方法
(1)第一方法：将非线性自治方程进行泰勒展开导出近似线性系统，根据线性化系统特征值推断稳定性。
(2)第二方法：引入具有广义能量属性的Lyapunov函数，分析Lyapunov函数导数的定号性，建立判断系统稳定性的相应结论。
Lyapunov第二方法
大范围渐近稳定
对连续非线性时不变自治系统，若可构造对于\(x\)具有连续一阶偏导数的一个标量函数\(v(x),v(0)=0\)，且对状态空间中所有非零状态点\(x\)满足
①\(v(x)\)为正定；②\(\dot v(x)\)为负定；③当\(\left\| x \right\| \to \infty\)时有\(v(x) \to \infty\)
则系统的原点平衡状态\(x=0\)为大范围渐近稳定。
【例1】\(\left\{ \begin{gathered}{ {\dot x}_1}
= {x_2} - {x_1}({x_1}^2 + {x_2}^2) \hfill \\{ {\dot x}_2} = - {x_1} -
{x_2}({x_1}^2 + {x_2}^2) \hfill \\ \end{gathered} \right.\)
构造一正定且满足\(\left\| x \right\| \to
\infty\)时有\(v(x) \to
\infty\)的标量函数\(v(x) = {x_1}^2 +
{x_2}^2\)
\(\Rightarrow {\dot V}(x) = \frac{\partial
v(x)}{\partial x_1} \frac{dx_1}{dt} + \frac{\partial v(x)}{\partial x_2}
\frac{dx_2}{dt}\)
\(= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2x_1&2x_2 \end{array}}\right] \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x_2}
- {x_1}({x_1}^2 + {x_2}^2) \\ - {x_1} - {x_2}({x_1}^2 + {x_2}^2)
\end{array}}\right] =-2({x_1}^2 + {x_2}^2)\)
\(\dot
v(x)\)负定⇒系统大范围渐近稳定
小范围渐近稳定
对连续非线性时不变自治系统，若可构造对于\(x\)具有连续一阶偏导数的标量函数\(v(x)\)以及围绕状态空间原点的一个吸引区\(\Omega\)，使所用非零状态\(x \in \Omega\)满足
①\(v(x)\)为正定；②\(\dot v(x)\)为负定
则系统的原点平衡状态\(x=0\)在\(\Omega\)域内渐近稳定。
不稳定的判别
①\(v(x)\)为正定；②\(\dot v(x)\)为正定
则系统不稳定。
李亚普诺夫判据
对连续线性时不变系统，原点平衡状态\(x_e=0\)是渐近稳定的充分必要条件：
对任给一个\(n \times
n\)正定对称矩阵\(Q\)，Lyapunov方程\(A^T P+PA=-Q\)有唯一\(n \times n\)正定对称解阵\(P\)
【例2】判断稳定性：\(\dot x=\left[
{\begin{array}{*{20}{c}} -1&1 \\ 2&-3
\end{array}}\right]x\)
取\(Q=I\)
\(A^T P+PA=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
-1&2 \\ 1&-3 \end{array}}\right] \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
p_1&p_3 \\ p_3&p_2 \end{array}}\right]+\left[
{\begin{array}{*{20}{c}} p_1&p_3 \\ p_3&p_2 \end{array}}\right]
\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} -1&1 \\ 2&-3
\end{array}}\right]=-Q=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} -1&0 \\
0&-1 \end{array}}\right]\)
\(\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
-2p_1+4p_3=-1 \\ p_1+2p_2-4p_3=0 \\ 2p_3-6p_2=-1
\end{array}}\right.\)
由方程组解得\(p_1=\frac{7}{4},p_2=\frac{3}{8},p_3=\frac{5}{8}\)
得到\(|P|=\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
\frac{7}{4}&\frac{5}{8} \\ \frac{5}{8}&\frac{3}{8}
\end{array}}\right| > 0\)
\(P\)正定，系统渐近稳定。