线性系统理论课程笔记
对应教材内容第六章 线性反馈系统的时间域综合的内容
引言
综合问题：系统的综合问题由受控系统，性能指标和控制输入三个要素组成，所谓系统综合，就是对给定受控系统，确定反馈形式的控制，使所导出闭环系统的运动行为达到或优于指定的期望性能指标。
性能指标的类型：
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
非优化型性能指标\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 渐近稳定 \\ 极点配置 \\
解耦控制 \\ 跟踪问题 \end{array}}\right. \\ 优化型性能指标
\end{array}}\right.\)
状态反馈和输出反馈
状态反馈
图1
状态反馈
连续时间线性时不变系统\(\dot x = Ax +
Bu,\quad y = Cx\)，状态反馈下受控系统的输入为\(u=-Kx+v\)。
则有反馈系统状态空间描述为\(\dot x = (A - BK)x
+ Bv,\quad y = Cx\)
对连续时间线性时不变系统，状态反馈保持能控性，不保持能观测性。
输出反馈
图2
输出反馈
连续时间线性时不变系统\(\dot x = Ax +
Bu,\quad y = Cx\)，输出反馈下受控系统的输入为\(u=-Fy+v\)。
则有反馈系统状态空间描述为\(\dot x = (A -
BFC)x + Bv,\quad y = Cx\)
对连续时间线性时不变系统，输出反馈保持能控性和能观测性。
状态反馈和输出反馈的比较
反馈原理：状态反馈为系统结构信息的完全反馈，输出反馈则是系统结构信息的不完全反馈。
反馈功能：状态反馈在功能上远优于输出反馈。
改善输出反馈的途径：扩展输出反馈（动态输出反馈）
反馈实现上，输出反馈要优越于状态反馈。
解决状态反馈物理实现的途径：引入状态观测器，扩展状态反馈和扩展输出反馈的等价性。
状态反馈的极点配置
极点配置定理：对单输入\(n\)维连续时间线性时不变受控系统\(\dot x = Ax + Bu\)，系统全部\(n\)个极点可任意配置的充分必要条件为\((A,b)\)完全能控。
极点配置算法：
①判别\((A,b)\)的能控性。
注：可以构造能控判别矩阵\({Q_c} =
[B,AB,{A^2}B, \cdot \cdot \cdot ,{A^{n - 1}}B]\)
系统完全能控的充要条件为\(rank(Q_c)=n\)（\(Q_c\)满秩）
②计算矩阵\(A\)特征多项式\(det(sI-A)=\alpha(s)=s^n+\alpha_{n-1}s^{n-1}+\cdots+\alpha_1
s+\alpha_0\)
③计算由期望闭环特征值\(\{ \lambda_1^*, \cdots
,\lambda_n^* \}\)决定的特征多项式
\({\alpha ^*}(s) = \mathop \Pi \limits_{i =
1}^n (s - \lambda _i^*) = {s^n} + \alpha _{n - 1}^*{s^{n - 1}} + \cdots
+ \alpha _1^*s + \alpha _0^*\)
④\(\bar k = \left[ {\alpha _0^* - {\alpha
_0},\alpha _1^* - {\alpha _1}, \cdots ,\alpha _{n - 1}^* - {\alpha _{n -
1}}} \right]\)
⑤\(P = \left[ {A^{n - 1}b, \cdots ,Ab,b}
\right]\quad \left[ \begin{gathered}1 & & & \\ {\alpha _{n -
1}}&\ddots& & \\ \vdots & \ddots & \ddots & \\
{\alpha _1} & \cdots & {\alpha _{n - 1}}&1 \hfill \\
\end{gathered} \right]\)
⑥\(Q=p^{-1}\)
⑦\(k = \bar kQ\)
【例1】连续时间线性时不变状态方程为\(\dot x
= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&0&0 \\ 1&{ - 6}&0 \\
0&1&{ - 12} \end{array}} \right]\;x + \left[
{\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}}
\right]\;u\)
期望闭环极点为\(\begin{array}{*{20}{c}}{
{\lambda _1}^* = - 2}&{ {\lambda _2}^* = - 1 + j}&{ {\lambda
_3}^* = - 1 - j} \end{array}\)，求状态反馈阵\(k\)。
能控性判定矩阵\(Q_c = [B,AB,A^2 B] = \left[
{\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0 \\ 0&1&-6 \\ 0&0&1
\end{array}} \right]\)
\(r(Q_c)=3=n \quad\)⇒系统能控
\(\det (sI - A) = \left[
{\begin{array}{*{20}{c}}0&0&0 \\ { - 1}&{s + 6}&0 \\
0&{ - 1}&{s + 12} \end{array}} \right] = {s^3} + 18{s^2} +
72s\)
期望闭环极点的特征多项式\({\alpha ^*}(s) = (s
+ 2)(s + 1 - j)(s + 1 + j) = {s^3} + 4{s^2} + 6s + 4\)
\(\bar k = [\alpha _0^* - {\alpha _0},\alpha
_1^* - {\alpha _1},\alpha _2^* - {\alpha _2}] = [4, - 66, -
14]\)
\(P = [{A^2}b,Ab,b]\left[
{\begin{array}{*{20}{c}} 1&{}&{} \\ {\alpha _2}&1&{} \\
{\alpha _1}&{\alpha _2}&1 \end{array}} \right] = \left[
{\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&1 \\ { - 6}&1&0 \\
1&0&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&0 \\ {18}&1&0 \\ {72}&{18}&1 \end{array}}
\right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {72}&{18}&1 \\
{12}&1&0 \\ 1&0&0 \end{array}} \right]\)
\(Q = {P^{ - 1}} = \left[
{\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&1 \\ 0&1&{ - 12} \\ 1&{
- 18}&{144} \end{array}} \right]\)
\(k = \bar kQ = \left[
{\begin{array}{*{20}{c}} {4,}&{ - 66,}&{ - 14} \end{array}}
\right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&1 \\ 0&1&{ -
12} \\ 1&{ - 18}&{144} \end{array}} \right] = \left[
{\begin{array}{*{20}{c}} { - 14,}&{186}&{ - 1220} \end{array}}
\right]\)
状态反馈镇定
状态镇定问题：对给定时间线性时不变受控系统，找到一个状态反馈型控制律\(u = - Kx + v\)，使所导出的状态反馈型闭环系统\(\dot x = (A - BK)x + Bv\)为渐近稳定，即系统闭环特征值均具有负实部。
结论：连续时间线性时不变系统可由状态反馈镇定，当且仅当系统不能控部分为为渐近稳定。
结论：连续时间线性时不变系统可由状态反馈镇定的一个充分条件是系统完全能控。
状态反馈镇定算法：
①判断\((A,
B)\)能控性，若完全能控，去④。
②对\((A, B)\)按能控性分解
③对能控部分进行极点配置
④计算镇定状态反馈矩阵
全维度状态观测器
全维观测器是指重构状态向量的维数与原系统相同。观测器结构如下：
图3
全维观测器
观测器动态方程为：\(\dot {\hat x} = (A - HC)\hat x + Bu + Hy\)
【例2】系统动态方程为：\(\begin{array}{*{20}{c}} {\dot x = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1 \\ { - 2}&{ - 3} \end{array}} \right]x + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 1 \end{array}} \right]u}&{y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&0 \end{array}} \right]x} \end{array}\)设计一个状态观测器，其中矩阵\(A-hc\)的特征值（观测器极点）为\(-10,-10\)。
设\(h = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} h_1 \\ h_2 \end{array}} \right]\)
\(\left| {\lambda I - (A - hc)} \right| = {\lambda ^2} + (2{h_1} + 3)\lambda + 6{h_1} + 2{h_2} + 2\)
希望的特征多项式\(\alpha^*(s)={(\lambda + 10)^2} = {\lambda ^2} + 20\lambda + 100\)
得到\(h = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}8.5 \\ 23.5 \end{array}} \right]\)
由观测器方程\(\dot {\hat x} = (A - hc)\hat x + bu + hy\)得到
\(\dot {\hat x} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 17}&1 \\ { - 49}&{ - 3} \end{array}}\right]\hat x + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 1 \end{array}} \right]u + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {8.5} \\ {23.5} \end{array}} \right]y\)
原系统及其状态观测器结构图如下：
图4
状态观测器设计