《电力拖动自动控制系统——运动控制系统(第五版)》学习笔记
本节内容对应书中第四章 转速、电流双闭环控制的直流调速系统
第三节 转速、电流双闭环控制直流调速系统的设计；对应页码p61-p91
控制系统的动态性能指标
在控制系统中设置调节器是为了改善系统的静、动态性能。
控制系统的动态性能指标包括对给定输入信号的跟随性能指标和对扰动输入信号的抗扰性能指标。
跟随性能指标
通常以输出量的初始值为零，给定信号阶跃变化下的过渡过程作为典型的跟随过程。此跟随过程的输出量动态响应称作阶跃响应。
图1
跟随性能指标
常用的阶跃响应跟随性能指标有上升时间\(t_r\)、超调量\(\sigma\)、峰值时间\(t_p\)和调节时间\(t_s\)，如上图所示。
抗扰随性能指标
在调速系统中主要扰动来源于负载扰动和电网电压波动。当调速系统在稳定运行中，突加一个使输出量降低（或上升）的扰动量\(F\)之后，输出量由降低（或上升）到恢复到稳态值的过渡过程就是一个抗扰过程。
图2
抗扰性能指标
常用的抗扰性能指标有动态降落\(\Delta
C_{max}\)和恢复时间\(t_v\)，如上图所示。
动态降落\(\Delta
C_{max}\)一般用它所占输出量原稳态值\(C_{\infty 1}\)的百分数(\(\Delta C_{max}/C_{\infty 1} \times
100\%\))来表示。\(C_{\infty
2}\)为扰动后的新稳态值，(\(C_{\infty 1}
- C_{\infty 2}\))为扰动作用的稳态误差（静差），\(C_b\)为输出量基准值，视情况决定。
频域性能指标和伯德图
图3
典型控制系统伯德图
典型控制系统伯德图如上图所示，反映系统性能的伯德图特征有下列四个方面：
- 中频段以‐20dB/dec的斜率穿越零分贝线，而且这一斜率占有足够的频带宽度，则系统的稳定性好。
- 截止频率（或称剪切频率）\(\omega _c\)越高，则系统的快速性越好。
- 低频段的斜率陡、增益高，表示系统的稳态精度好（即静差率小、调速范围宽）。
- 高频段衰减得越快，即高频特性负分贝值越低，说明系统抗高频噪声干扰的能力越强。
调节器的工程设计方法
典型系统
控制系统开环传递函数可表示为： \[W(s) =
\frac{ {K\prod\limits_{i = 1}^m {({\tau _i}s + 1)} } }{ {
{s^r}\prod\limits_{j = 1}^n {({T_j}s + 1)} } }\] 分母中的\(s^r\)项表示该系统在\(s=0\)处有\(r\)重极点，或者说系统有\(r\)个积分环节，称作\(r\)型系统。
为了使系统对阶跃给定无稳态误差，不能使用0型系统(r=0)，至少是Ⅰ型系统(r=1)；当给定是斜坡输入时，则要求是Ⅱ型系统(r=2)才能实现稳态无差。
由于Ⅲ型(r=3)和Ⅲ型以上的系统很难稳定，而0型系统的稳态精度低。因此常把Ⅰ型和Ⅱ型系统作为系统设计的目标。
典型Ⅰ型系统
典型Ⅰ型系统的开环传递函数为\(W(s)=\frac{K}{s(Ts+1)}\)，其中\(T\)为系统的惯性时间常数，\(K\)为系统的开环增益。典型Ⅰ型系统的闭环系统结构图与开环对数频率特性如下图所示：
图4
典型Ⅰ型系统(a)闭环系统结构图 (b)开环对数频率特性
对数幅频特性的中频段以-20dB/dec的斜率穿越零分贝线，只要参数的选择能保证足够的中频带宽度，系统就一定是稳定的。
只包含开环增益\(K\)和时间常数\(T\)两个参数，时间常数\(T\)往往是控制对象本身固有的，唯一可变的只有开环增益\(K\) 。设计时，需要按照性能指标选择参数\(K\)的大小。
为使对数幅频特性的中频段以-20dB/dec的斜率穿越零分贝线，满足稳定裕度的要求。选择参数时需保证\(\omega _c < \frac{1}{T}\)。进而使得\(\omega _c T< 1\)，\(arctan\omega _c T<45^\circ\)
相角稳定裕度\(\gamma = 180^\circ -90^\circ
-arctan\omega _c T=90^\circ -arctan\omega _c
T>45^\circ\)
由对数坐标函数关系\(20lgK=20(lg \omega _c
-lg1)=20lg \omega _c\)可知\(K=\omega _c
(\omega _c <\frac {1}{T})\)，\(KT<1\)
\(K\)值越大，截止频率\(\omega
_c\)也越大，系统响应越快，但相角稳定裕度会越小。也就是说快速性与稳定性间存在矛盾。在选择参数\(K\)时，须在快速性与稳定性之间取折中。
动态跟随性能指标
典型Ⅰ型系统的闭环传递函数： \[W_{cl}(s) =
\frac{W(s)}{1 + W(s)} = \frac{ {\frac{K}{ {s(Ts + 1)} } } }{ {1 +
\frac{K}{ {s(Ts + 1)} } } } = \frac{ {\frac{K}{T} } }{ { {s^2} +
\frac{1}{T}s + \frac{K}{T} } } = \frac{ {\omega _n^2} }{ { {s^2} + 2\xi
{\omega _n}s + \omega _n^2} }\] 其中自然震荡角频率\({\omega _n} = \sqrt {\frac{K}{T}
}\)，阻尼比\(\xi=\frac{1}{2}\sqrt
{\frac{1}{KT} }\)
\(0<\xi<1\)时，欠阻尼，系统震荡；\(\xi>1\)时，过阻尼，系统单调；\(\xi=1\)时为临界阻尼。
通常把系统设计成欠阻尼状态，又由\(KT<1\)得\(\xi>0.5\)，因此通常取\(0.5<\xi<1\)。
上升时间\(t_r = \frac{2\xi T}{\sqrt {1 - {\xi ^2} } }(\pi - \arccos \xi )\)
峰值时间\(t_p = \frac{\pi }{ {\omega _n}\sqrt {1 - {\xi ^2} } }\)
调节时间\(t_s \approx \frac{3}{ {\xi {\omega _n} } } = 6T\)（\(\xi<0.9\)、误差带\(\pm 5\%\)的情况下近似估算）
截止频率\(\omega _c = {\omega _n}{[\sqrt {4{\xi ^4} + 1} - 2{\xi ^2}]^{\frac{1}{2} } }\)（精确计算，不使用伯德图近似估算）
相角稳定裕度\(\gamma = \arctan \frac{2\xi}{ { {[\sqrt {4{\xi ^4} + 1} - 2{\xi ^2}]}^{\frac{1}{2} } } }\)
根据上列各式，求出\(0.5<\xi<1\)时典型Ⅰ型系统各项动态跟随指标和频域指标与参数\(KT\)的关系如下表所示：
| 参数关系\(KT\) | 阻尼比\(\xi\) | 超调量\(\sigma\) | 上升时间\(t_r\) | 峰值时间\(t_p\) | 相角稳定裕度\(\gamma\) | 截止频率\(\omega _c\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.25 | 1.0 | 0% | 76.3° | 0.243/T | ||
| 0.39 | 0.8 | 1.5% | 6.6T | 8.3T | 69.9° | 0.367/T |
| 0.50 | 0.707 | 4.3% | 4.7T | 6.2T | 65.5° | 0.455/T |
| 0.69 | 0.6 | 9.5% | 3.3T | 4.7T | 59.2° | 0.596/T |
| 1.0 | 0.5 | 16.3% | 2.4T | 3.6T | 51.8° | 0.786/T |
可以观察到系统的时间常数T已知时，随着K的增大，系统的快速性提高，但稳定性变差。
要求动态响应快时可取\(\xi = 0.5 \sim
0.6\)，并选较大的K；要求超调小时可取\(\xi = 0.8 \sim
1.0\)，并选较小的K；要求无超调时可取\(\xi = 1.0\)。
无特殊要求时，取\(\xi = 0.707\)，\(KT=0.5\)，这一参数又称为“二阶最佳整定参数”，它兼顾了快速性与稳定性。
动态抗扰性能指标
影响到参数K的选择的第二个因素是它和抗扰性能指标之间的关系，典型Ⅰ型系统已经规定了系统的结构，分析它的抗扰性能指标的关键因素是扰动作用点，某种定量的抗扰性能指标只适用于一种特定的扰动作用点。这里以电流环扰动作用为例分析典型Ⅰ型系统的抗电网电压波动性能。
图5
电流环典型Ⅰ型系统电压扰动下动态结构(a)动态结构图 (b)等效结构图
讨论抗扰性能时，令输入变量\(R(s)=0\)，输出变量写成\(\Delta C\)。
令\(m=\frac{T_1}{T_2}<1\)为小时间常数与大时间常数的比值，分别分析\(m=\frac{1}{5},\frac{1}{10},\frac{1}{20},\frac{1}{30}\)时的最大动态降落\(\Delta C_{max}\)、最大动态降落对应时间\(t_m\)与恢复时间\(t_v\)。
具体分析过程参见教材p68-p69，这里不再赘述，下面放出结论
| \(m\) | 最大动态降落\(\frac{\Delta C_{max} }{C_b} \times 100\%\) | 最大动态降落时间\(\frac{t_m}{T_2}\) | 恢复时间\(\frac{t_v}{T_2}\) |
|---|---|---|---|
| \(\frac{1}{5}\) | 27.78% | 0.566 | 2.209 |
| \(\frac{1}{10}\) | 16.58% | 0.336 | 1.478 |
| \(\frac{1}{20}\) | 9.27% | 0.19 | 0.741 |
| \(\frac{1}{30}\) | 6.45% | 0.134 | 1.104 |
当控制对象的两个时间常数相距越大（m值越小），动态降落越小。
恢复时间的变化不是单调的，\(m=\frac{1}{20}\)时恢复时间最短。
典型Ⅱ型系统
典型Ⅱ型系统的开环传递函数为\(W(s) = \frac{K(\tau s + 1)}{ {s^2}(Ts + 1)}\)。其中\(T\) 为系统的惯性时间常数，分子上的比例微分环节\((\tau s + 1)\)用以保证系统稳定，待定参数为\(K\)和\(\tau\)。
图6
典型Ⅱ型系统(a)闭环系统结构图 (b)开环对数频率特性
典型Ⅱ型系统的闭环系统结构图与开环对数频率特性如上图所示。与典型Ⅰ型系统一样，中频段以-20dB/dec的斜率穿越零分贝线。要求\(\frac{1}{\tau}<\omega
_c<\frac{1}{T}\)，或者\(\tau>T\)。
相角稳定裕度\(\gamma = 180^\circ - 180^\circ +
arctan\omega _c\tau - arctan\omega _c T = arctan\omega _c\tau -
arctan\omega _c T\)
由相角稳定裕度可知\(\tau\)比\(T\)大得越多，系统的稳定裕度越大。
由对数坐标函数关系\(20lgK=40(lg\omega _1 -
lg1) + 20(lg\omega _c - lg1)=20lg\omega _1 \omega _c\)可知\(K=\omega _1 \omega _c\)。
改变\(K\)相当于使开环对数幅频特性上下平移，从而改变截止频率\(\omega
_c\)，此特性与闭环系统的快速性有关。
定义中频宽（斜率为-20dB/dec的中频段宽度）\(h=\frac{\tau}{T}=\frac{\omega _2}{\omega
_1}\)，中频宽的状况对控制系统的动态品质起着决定性的作用。
由于\(T\)值一定，改变\(\tau\)就相当于改变了中频宽\(h\)，在此基础上改变\(K\)相当于改变\(\omega _c\)。因此选择频域参数\(h\)和\(\omega
_c\)，相当于选择参数\(\tau\)和\(K\)。
采用“振荡指标法”中的闭环幅频特性峰值最小准则，可以找到\(h\)和\(\omega
_c\)两个参数之间的一种最佳配合。
这一准则表明对于一定的\(h\)值，只有一个确定的\(\omega _c\)或\(K\)可以得到最小的闭环幅频特性峰值\(M_{rmin}\)。
取\(\omega _c=\frac{\omega _1+\omega
_2}{2}\)时，有\(M_{rmin}=\frac{h+1}{h-1}\)。
\(h\)值越大，\(M_{rmin}\)越小，超调量便会随之减小，但是\(\omega
_c\)也会减小，这会使系统的快速性变弱。
\(h\)通常在3~10间选择。确定\(h\)值后，可以推算出\(\tau = hT\)，\(K=\frac{h+1}{2h^2 T^2}\)。
具体推算过程见教材p70-p71
动态跟随性能指标
以\(T\)为时间基准，当\(h\)取3~10的不同值时，求其对应单位阶跃响应函数，计算出\(\tau\)、\(t_r/T\)、\(t_s/T\)和震荡次数\(k\)。
具体计算过程与计算结果见教材p71-p72，这里不再赘述，下面放出结论
动态跟随性能分析结论：
调节时间\(t_s\)随\(h\)的变化不单调，当\(h=5\)时，调节时间最短。
\(h\)值越小，上升时间\(t_s\)越快；\(h\)值越大，超调量\(\tau\)越小。
综合考虑，可以取\(h=5\)，其动态跟随性能比较适中。
动态抗扰性能指标
这里以转速环扰动作用为例分析典型Ⅱ型系统的抗负载波动性能。
图6
转速环典型Ⅱ型系统负载扰动下动态结构(a)动态结构图 (b)等效结构图
取\(K_1=K_p K_d/\tau _1\)，\(\tau _1=hT\)，\(K_2=\frac{R\alpha}{T_m C_e}\)，\(K=K_1
K_2\)，按照闭环幅频特性峰值最小准则确定参数关系。
令输入变量\(R(s)=0\)，输出变量写成\(\Delta C\)，阶跃扰动\(F(s)=\frac{F}{s}\)，输出变量写成\(\Delta C\)。
计算出不同\(h\)值对应的动态抗扰过程曲线\(\Delta C(t)\)，进而求最大动态降落\(\Delta C_{max}\)、最大动态降落对应时间\(t_m\)与恢复时间\(t_v\)。
具体分析过程与计算结果参见教材p72-p73，这里不再赘述，下面放出结论
动态抗扰性能分析结论：
\(h\)值越小，最大动态降落\(\Delta
C_{max}\)越小，最大动态降落对应时间\(t_m\)越短，说明抗扰性能越好。
恢复时间\(t_v\)随\(h\)的变化不单调，当\(h<5\)时，由于震荡次数增加，恢复时间\(t_v\)变长。
综合考虑，可以取\(h=5\)，其动态抗扰性能比较适中。
控制对象的工程近似处理方法
高频段小惯性环节的近似处理
当高频段有多个小时间常数\(T_1,T_2,T_3,\ldots\)的小惯性环节时，可以等效地用一个小时间常数\(T\)的惯性环节来代替。其等效时间常数为\(T=T_1+T_2+T_3+\ldots\)。
图7
高频段小惯性环节的近似处理
两个高频小惯性环节的近似条件：\({\omega _c}
\leqslant \frac{1}{ {3\sqrt { {T_1}{T_2} } } }\)
三个高频小惯性环节的近似条件：\({\omega _c}
\leqslant \frac{1}{3}\frac{1}{ {\sqrt { {T_1}{T_2} + {T_2}{T_3} +
{T_3}{T_1} } } }\)
高阶系统的降阶近似处理
如三阶稳定系统\(W(s)=\frac{K}{as^3+bs^2+cs+1}\)（\(a,b,c\)均为正数且\(bc>a\)）
在一定条件下可以忽略高次项近似为\(W(s)\approx
\frac{K}{cs+1}\)
近似条件：\(\omega _c \leqslant \frac{1}{3}
min(\sqrt{\frac{1}{b} },\sqrt{\frac{c}{a} })\)
低频段大惯性环节的近似处理
当系统中存在一个时间常数特别大的惯性环节时\(\frac{1}{Ts+1}\)，可以近似地将它看成是积分环节\(\frac{1}{Ts}\)近似条件：\(\omega _c \geqslant \frac{3}{T}\)
图8
低频段大惯性环节的近似处理
这种近似处理仅适用于分析动态性能，考虑稳态精度时仍要使用原来的传递函数\(W(s)\)。
按工程设计方法设计转速、电流反馈控制直流调速系统的调节器
设计原则为“先内环后外环”。
先从电流环开始，进行必要的变换与近似处理，根据电流环控制要求确定矫正成Ⅰ型系统还是Ⅱ型系统，根据控制对象确定电流调节器类型，按动态性能指标确定电流调节器的参数。电流环设计完成后，将电流环等效为转速环的一个环节，再用同样的方法设计转速环。
电流调节器的设计
图9
双闭环调速系统动态结构图
确定时间常数
Ⅰ型系统与Ⅱ型系统所需要确定的时间常数相同。
①电力电子变换器滞后时间常数\(T_s\)：对于PWM变换器，其滞后时间常数为其开关频率的倒数，如开关频率为8kHz的PWM变换器的\(T_s=0.000125s\)；对于晶闸管整流器，其滞后时间常数为其最大失控时间的一半。
②电流滤波时间常数\(T_{oi}\)：为消除纹波应有\(\frac{1}{T_{oi}} = (\frac{1}{5}\sim\frac{1}{10})
\frac{1}{T_{s}}\)。
③电流环小时间常数之和\(T_{\sum
i}=T_s+T_{oi}\)（按小时间常数近似处理）。
选择电流调节器结构
首先根据实际控制需求确定使用Ⅰ型系统还是Ⅱ型系统。
如果要选用Ⅰ型系统，需检查对电源电压的抗扰性能，求\(\frac{T_l}{T_{\sum i} }\)的值。这里\(\frac{T_l}{T_{\sum i} }=\frac{T_2}{T_1}=\frac{1}{m}\)可以求出\(m\)值，查看表2判断动态抗扰性能是否符合要求。
典型Ⅰ型系统把双惯性环节的电流环控制对象近似等效成只有较小时间常数\(2T_{\sum
i}\)的一阶惯性环节，加快了电流的跟随作用。使用典型Ⅰ型系统的前提是超前环节恰好对消掉了控制对象的大惯性环节，如果电动机参数测量不准，大惯性环节未被准确对消，就会影响电流环的动态性能。
具体分析过程与计算结果参见教材p78-p80，这里不再赘述
如果要选用Ⅱ型系统，典型Ⅱ型系统超调量大，不能很好满足电流环对跟随性能指标的要求。可以在电流给定后加入低通滤波能有效降低超调量，解决这一问题。但响应速度会变慢，调节时间与上升时间变长。
低通滤波是一个惯性环节，其时间常数为\(T_{in}\)。经过实验分析，可知当\(T_{in}=4T_{\sum
i}\)时，超调量得到了有效的降低且调节时间最短。因此一般选择低通滤波时间常数\(T_{in}=4T_{\sum
i}\)，再判断在此条件下是否符合要求。
具体分析过程与计算结果参见教材p81-p84，这里不再赘述
计算电流调节器参数
对于Ⅰ型系统：
电流调节器设计为PI调节器，其传递函数\(W_{ACR}(s)=\frac{K_i(\tau _i s+1)}{\tau _i
s}\)
校正为Ⅰ型系统传递函数\(W_{opi}(s)=\frac{K_i
\beta K_s /R}{\tau_i s(T_{\sum i}s+1)}=\frac{K_I}{s(T_{\sum
i}s+1)}\)
电流调节器超前时间常数\(\tau_i=T_l\)
（这里\(T_l \gg T_{\sum
i}\)，用调节器的零点对消掉控制对象的大时间常数极点，以便矫正成Ⅰ型系统）
电流环开环增益\(K_I=\frac{0.5}{T_{\sum i}
}\)（取\(K_I T_{\sum
i}=0.5\)时）
电流调节器比例系数\(K_i=\frac{K_I \tau_i
R}{K_s \beta}\)
对于Ⅱ型系统： 电流调节器设计为PI调节器，传递函数同上。
校正为Ⅱ型系统传递函数\(W_{opi}(s)=\frac{K_i
\beta K_s(\tau_i s+1)}{\tau_i R T_l s^2(T_{\sum i}s+1)}=\frac{K_I(\tau_i
s+1)}{s^2(T_{\sum i}s+1)}\)
（这里的大惯性环节\(\frac{1}{T_l
s+1}\)满足近似条件\(\omega_{cli}
\geqslant \frac{3}{T_l}\)被近似为积分环节）
电流调节器超前时间常数\(\tau_i=hT_{\sum
i}\)
电流调节器比例系数\(K_i=\frac{h+1}{2h}\frac{RT_l}{K_s \beta T_{\sum
i}}\)
校验近似条件
Ⅰ型系统取电流环截止频率\(\omega_{ci}=K_I\)
Ⅱ型系统取电流环截止频率\(\omega_{ci} \approx
\frac{1}{4T_{\sum i} }\)
Ⅰ型系统与Ⅱ型系统都要校验的近似条件：
①PWM变换器传递函数近似条件\(\frac{1}{3T_s}>\omega_{ci}\)
②忽略反电动势变化对电流环动态影响条件\(3\sqrt{\frac{1}{T_m T_l}
}<\omega_{ci}\)
③电流环小时间常数近似处理条件\(\frac{1}{3}\sqrt{\frac{1}{T_s T_{oi} }
}>\omega_{ci}\)
Ⅱ型系统还需要校验的近似条件：
④大惯性环节近似处理条件\(\frac{3}{T_l}
\leqslant \omega_{cli}\)
计算调节器电阻与电容
Ⅰ型系统电路参数：
图10
含配合滤波与反馈滤波的PI电流调节器
含配合滤波与反馈滤波的PI电流调节器如上图所示，\(U_i^*\)为电流给定电压，\(-\beta
I_d\)为电流负反馈电压，调节器输出量\(U_c\)为电力电子变换器控制电压。
\(R_0\)需要按照运算放大器实际情况自己给定。
\(R_i=K_i R_0\)
\(C_i=\frac{\tau_i}{R_i}\)
\(C_{oi}=\frac{4T_{oi} }{R_0}\)
图11
输入滤波与含配合滤波与反馈滤波的PI电流调节器串联
Ⅱ型系统需要在原PI调节器前加入输入滤波，如上图所示。
\(R_0\)与\(R_{i\_i}\)需要根据实际情况自己给定。
\(R_i\)、\(C_i\)、\(C_{oi}\)运算公式与Ⅰ型系统电路相同。
\(C_{i\_i}=\frac{4T_{\sum i} }{R_{i\_i}
}\)
转速调节器的设计
确定时间常数
分析转速环时，电流环被等效为一阶惯性环节，其时间常数为\(2T_{\sum i}\)。
转速滤波时间常数\(T_{on}\)根据测速发电机纹波情况选取，可以取\(T_{on}=0.01s\)。
转速环小时间常数\(T_{\sum
n}\)按小时间常数近似处理，取\(T_{\sum
n}=2T_{\sum i}+T_{on}\)。
选择转速调节器结构
为了实现转速无静差，在负载扰动作用点前需有一个积分环节，包含在转速调节器中，由于在扰动作用点后已经有了一个积分环节，因此转速环开环传递函数应有两个积分环节。转速调节器需设计为典型Ⅱ型系统，这样的系统同时也能满足动态抗扰性能好的要求。
转速调节器也设计为PI调节器，其传递函数为\(W_{ASR}(s)=\frac{K_n(\tau_n s+1)}{\tau_n
s}\)。
调速系统开环传递函数\(W_n(s)=\frac{K_n \alpha
R(\tau_n s+1)}{\tau_n \beta C_e T_m s^2(T_{\sum n}s+1)}=\frac{K_N(\tau_n
s+1)}{s^2(T_{\sum n}s+1)}\)
计算转速调节器参数
转速调节器超前时间常数\(\tau_n=hT_{\sum
n}\)
转速环开环增益\(K_N=\frac{h+1}{2h^2 T_{\sum
n}^2}\)
转速调节器比例系数\(K_n=\frac{(h+1)\beta C_e
T_m}{2h\alpha R T_{\sum n} }\)
校验近似条件
转速环截止频率\(\omega_{cn}=\frac{K_N}{\omega_1}\)
电流环传递函数简化条件\(\frac{1}{3}\sqrt{\frac{K_I}{T_{\sum i} }
}>\omega_{cn}\)
转速换小时间常数近似处理条件\(\frac{1}{3}\sqrt{\frac{K_I}{T_{on} }
}>\omega_{cn}\)
计算调节器电阻与电容
图12
含配合滤波与反馈滤波的PI转速调节器
含配合滤波与反馈滤波的PI转速调节器如上图所示，\(U_n^*\)为转速给定电压，\(-\alpha
n\)为转速负反馈电压，调节器输出量\(U_i^*\)为电流调节器给定电压。
\(R_0\)需要按照运算放大器实际情况自己给定。
\(R_n=K_n R_0\)
\(C_n=\frac{\tau_n}{R_n}\)
\(C_{on}=\frac{4T_{on} }{R_0}\)
校核转速超调量
突加阶跃给定时，ASR饱和，不符合线性系统的前提，在饱和限幅的非线性控制作用下，超调量会大大降低，需要按照ASR退饱和的情况重新计算超调量。
图13
ASR饱和时转速换按Ⅱ型系统设计的调速系统起动过程
上图\(t_2\)时刻，当转速超过给定值之后，转速调节器ASR由饱和限幅状态进入线性调节状态，此时的转速环由开环进入闭环控制，迫使电流由最大值\(I_{dm}\)降到负载电流\(I_{dl}\)。ASR开始退饱和时，由于电动机电流\(I_d\)仍大于负载电流\(I_{dl}\)，电动机继续加速，直到\(I_d <
I_{dl}\)时转速才降低。这不是按线性系统规律的超调，而是经历了饱和非线性区域之后的超调，因此称作“退饱和超调”。
ASR退饱和超调量计算公式为： \[\sigma_n =
(\frac{\Delta {C_{max} } }{C_b})\frac{\Delta
n_b}{n^*}=2(\frac{\Delta{C_{max} } }{C_b})(\lambda-z)\frac{\Delta{n_N}
}{n^*}\frac{T_{\sum n} }{T_m}\]
具体公式推导参见教材p87-p90，这里不再赘述
式中\(\frac{\Delta {C_{max} }
}{C_b}\)为动态降落，可以根据\(h\)值查教材P73表4-5得知，\(h=5\)时\(\frac{\Delta {C_{max} }
}{C_b}=81.2\%\)。
\(\lambda\)为电动机允许的过载倍数，有\(I_{dm}=\lambda I_{dN}\)。
\(z\)为负载系数，有\(I_{dL}=z I_{dN}\)。
\(\Delta{n_N}\)为调速系统开环机械特性的额定稳态速降，\(\Delta{n_N}=\frac{I_{dN} R}{C_e}\)。