鲁棒控制理论与应用课程笔记
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绪论
不确定性：指系统由于受到外部扰动或者自身性质的影响，所造成的控制系统参数的变化。其来源有外部扰动与模型本身两种，模型本身的不确定性又可分为阶次不确定性与参数不确定性两种。
鲁棒性(Robustness)：又称作稳健性、健壮性。鲁棒性体现的是系统抵抗扰动的能力。控制系统的稳定性的鲁棒性，简称为控制系统的稳定鲁棒性；控制系统的某种性能的鲁棒性，简称为控制系统的性能鲁棒性。
鲁棒性与稳定性(Stability)的区别在于鲁棒性更侧重于系统在面对外界扰动、变化和不确定性时的表现。
\(H_\infty\)控制：鲁棒控制的一种，该控制理论通过对被控对象传递函数求\(H_\infty\)范数，以此来求取鲁棒控制器。
1981年，James提出用传递函数阵的\(H_\infty\)范数来定义优化指标，其公式为：\(J = \mathop {\inf }\limits_K ||S(s)|{|_\infty } =
\mathop {\inf }\limits_K \{ \mathop {\sup }\limits_\omega \bar \sigma
[s(j\omega )]\}\)
其中\(\inf\)为下确界，表示一个集合内最大的下界（一个集合内最大的小于集合内任意元素的数）。同理\(\sup\)为下确界，表示一个集合内最小的上界（一个集合内最小的大于集合内任意元素的数）。对于有限集而言，下确界等于最小值\(\min\)，上确界等于最大值\(\max\)。
传递函数阵\(S(s)\)为\(s\)右半平面上解析的有理函数阵，\(\bar \sigma\)表示最大奇异值。
1988年，Doyle等四人在IEEE上发表论文State-space solutions to standard H2 and H ∞ control problems，证明\(H_\infty\)设计问题的解可以通过解两个适当的代数Riccati方程得到，这标志着\(H_\infty\)控制理论的成熟。
Riccati方程：形如\(y'=P(x)y^2+Q(x)y+R(x)\)的方程。
这里指的是形如\(XA+A^T X+XBB^T X+C^T
C=0\)的矩阵方程。
数学基础
奇异值
设\(A \in C^{n \times n}\)（A为\(n \times n\)方阵），由线性代数知识可知\(rankA^*A=rankAA^*=rankA\)。其中\(A^* A,AA^ *\)的秩相等且均为非负定阵，\(A^* A\)与\(AA^*\)的有\(r\)个相同的正特征值，其余特征值均为0。
【定义2.1.1】取\(\lambda_i\)为\(A^* A\)的非零特征值。称\(\sigma_i=\sqrt{\lambda_i}\quad
(i=1,2,\cdots,r)\)为A的非零奇异值。
【定理2.1.1】矩阵奇异值分解定理
对于任意矩阵\(A \in C^{n\times
m}\)，设\(rankA=r\)，且\(\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_r>0\)为A的奇异值。则存在n阶正交阵U和m阶正交阵V，使得\(A=UDV\)。
其中\(U^*U=I \quad V^*V=I \quad D=\left[
{\begin{array}{*{20}{c}} \sum&0 \\ 0&0 \end{array}} \right]
\quad \sum=diag(\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_r)\)
矩阵\(A \in C^{n \times n}\)可以视为复向量空间\(C^m\)到\(C^n\)的映射（算子）。
矩阵的奇异值表示映射过程中向量长度被伸长的倍数。
下图以\(A \in C^{2\times 2}\)为例进行探讨：
图1
矩阵按奇异值分解
这里将\(A:x \to
y\)的映射过程分解为\(V:x \to x^1,D:x^1
\to x^2,U:x^2 \to y\)
\(y=Ax=UDVx \Rightarrow
x^1=Vx,x^2=Dx^1,y=Ux^2\)
使用欧式范数定义向量的长度\(||x||=\sqrt{x^*x}\)
可以发现映射V与U不改变向量长度，只改变向量的相位角。
\(||x^1||=||Vx||=||x|| \quad
||y||=||Ux^2||=||x^2||\)
映射D将\(x^1\)沿两个坐标轴方向分别延伸\(\sigma_1,\sigma_2\)倍。
\(x_1^2=\sigma_1 x_1^1,x_2^2=\sigma_2
x_2^1\)
\(||Ax||=||y||=||x^2||=[(\sigma_1
x_1^1)^2+(\sigma_2 x_2^1)^2]^\frac{1}{2} \leqslant
\sigma_1||x^1||=\sigma_{\max}(A) \cdot ||x||\)
（这里取\(\sigma_{\max}(A)=\sigma_1\)）
矩阵奇异值的性质（见教材P24）
其中最重要的是第三条：
\(\sigma_{\max}(A) \leqslant
1\)的充要条件是\(I-A^*A \geqslant
0\)或等价地\(I-AA^* \geqslant
0\)
可以推出\(||T_{zw}(s)||_{\infty}<1\)
范数
设V为实数域R（或复数域C）上的线性空间。如对任意\(x \in V\)，有一个确定的非负实数\(||x||\)与之对应，且满足：
①（正定性）对任意\(x \in V,||x|| \geqslant
0\)；当且仅当\(x=0\)时\(||x||=0\)
②（齐次性）对任意\(x \in V,a \in
R,C\)，有\(||ax||=|a|\cdot||x||\)
③（三角不等式）\(x,y \in V\)，\(||x+y|| \leqslant ||x||+||y||\)
则称\(||x||\)为x的范数，V为线性赋范空间。
内积与内积空间
设V为复数域C上的线性空间。如对任意\(x,y \in
V\)，有一个确定的\(\langle x,y
\rangle\)与之对应，且满足：
①（共轭对称性）\(\langle x,y \rangle =
\overline{\langle y,x \rangle}\)
②（正定性）\(\langle x,x \rangle \geqslant
0\)；当且仅当\(x=0\)时\(\langle x,x \rangle=0\)
③（线性）\(\langle \alpha x+\beta y,z
\rangle=\alpha \langle x,z \rangle+\beta \langle y,z
\rangle\)
则称\(\langle x,y
\rangle\)为V中的内积，V为内积空间。
范数在特定空间中的含义
对于一维空间实数集，范数的含义与绝对值相同。
对于二维或三维的欧式空间，范数的含义为空间中向量的模（向量的长度）。
对于内积空间，定义范数\(||x||=\sqrt{\langle x,x
\rangle}\)
内积公式为\(\langle x,y \rangle = |x| \cdot
|y| cos\theta\)，其中\(\theta\)为两向量夹角。
若在内积空间中\(\langle x,y \rangle =
0\)，则称x与y正交，记作\(x \bot
y\)（\(cos\theta=\frac{\pi}{2}\)，两向量互相垂直）
若V有两个子集M和N，且对于任意\(x \in M,y \in
N\)，均有\(x \bot
y\)，则称M与N正交，记作\(M \bot
N\)（两平面互相垂直）
\(L_1\)范数、\(L_2\)范数与\(L_\infty\)范数
\(L_1\)范数：\(||x||_1=\sum\limits_{i = 1}^n
{|{x_i}|}\)
表示向量x中非零元素的绝对值之和。又称作曼哈顿范数，其值可以称作曼哈顿距离、绝对误差和等。
\(L_2\)范数：\(||x||_2=\sqrt{\sum\limits_{i = 1}^n
{x_i^2}}\)
向量x中各元素的平方和开根号。又称作欧式范数，其值可表示欧式空间中的距离。
\(L_\infty\)范数：\(||x||_\infty=\max(|x_d|)\)
又称作最大值范数。向量x中各元素的无穷次方之和开无穷次根号，由数学知识可知其极限值为向量中各元素绝对值的最大值。
\(L_p\)范数：\(||x||_p=\sqrt[p]{\sum\limits_{i = 1}^n
{|x_i|^p}}\)
通用公式，p取不同的值可得到\(L_1\)、\(L_2\)与\(L_\infty\)范数。
\(L_0\)范数：\(||x||_0=\sum\limits_{i = 1}^n {1}(x_i \ne
0)\)
表示向量x中非零元素的个数。
Hardy空间与\(H_p\)范数
哈代(Hardy)空间是单位圆内一类重要的解析函数空间，是单位圆盘或半平面上的某类全纯（区域内处处可微）函数。
\(H_p\)范数被定义为\(||f||_p=\mathop {\sup }\limits_{0 \leqslant r <
1}(\frac{1}{2\pi} \int\limits_0^{2\pi}|f(re^{i\theta})|^p
d\theta)^\frac{1}{p}\)
p取∞时，定义\(H_\infty\)范数为\(||f||_\infty=\mathop {\sup }\limits_{0 \leqslant r
< 1} \mathop {\sup }\limits_{0 \leqslant \theta \leqslant < 2\pi}
|f(re^{i\theta})|\)
在\(H_\infty\)控制理论中，H被定义为Hardy空间的复右半平面上由解析的复变函数所构成的集合。
稳定（传递函数极点均在复平面左半平面）且具有常态（传递函数多项式分母阶次大于分子阶次）的系统传递函数\(G(s)\)为Hardy空间元素。
\(G(s)\)的\(H_\infty\)范数被定义为\(||G(s)||_\infty=\mathop {\sup
}\limits_\omega|G(j\omega)|\)
\(H_\infty\)范数指的是在S右半平面上解析的有理函数阵的最大奇异值。
总结：\(L_2\)范数与\(L_\infty\)范数针对系统的时域；\(H_2\)范数与\(H_\infty\)范数针对系统的频域。
\(L_2\)与\(H_2\)对应着时域信号与频域信号增益的几何平均值（平方和开根号），体现的是系统稳定工作状态下的情况（稳定性）。
\(L_\infty\)与\(H_\infty\)对应着时域信号与频域信号增益的最大值，体现的是系统在负载扰动状态下的偏差最大的情况（抗扰动能力、鲁棒性）。
也就是说\(H_\infty\)体现了系统系统控制效果最差的情况下的偏差程度（偏差的最大值），通过对其加以控制来尽可能的减小偏差的最大值，以提高系统的抗扰动能力（或鲁棒性）。
系统的I/O描述
任意系统可以看做输入信号空间到输出信号空间的映射。
信号的范数
时域的\(L_2\)范数与\(L_2\)空间
定义\(L_2\)范数\(||u(t)||_2=\{\int_{-\infty }^{+\infty} |u(t)|^2
dt\}^\frac{1}{2}\)
\(L_2\)空间定义为上式定义的\(L_2\)范数有界的信号集合。
\(L_2(-\infty,+\infty)=\{u(t)|\text{
}||u(t)||_2<\infty\}\)
若\(u(t)\)为电流或电压，则\(L_2(-\infty,+\infty)\)代表能量有限的信号的集合。
\(L_2(-\infty,+\infty)\)是定义了内积的赋范空间，范数定义由内积导出。
设\(u,v \in
L_2(-\infty,+\infty)\)，则内积定义为\(\langle u,v \rangle = \int_{-\infty }^{+\infty}
v^*(t)u(t)dt\)
\(L_2(-\infty,+\infty)\)可表示为两个正交子空间的和，\(L_2(-\infty,+\infty)=L_2(-\infty,0]\oplus
L_2[0,+\infty)\)
频域的\(H_2\)范数与\(L_2\)空间
定义\(H_2\)范数\(||U(j\omega)||_2=\{\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty
}^{+\infty} |U(j\omega)|^2 d\omega\}^{1/2}\)
频域的\(L_2\)空间\(L_2=\{U(j\omega)|\text{
}||U(j\omega)||_2<\infty\}\)
频域信号的\(H_2\)范数定义亦由内积导出。
设\(U,V \in L_2\)，则内积定义为\(\langle U,V \rangle = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty
}^{+\infty} V^*(j\omega)U(j\omega)d\omega\)
【定理2.1.1】时域\(L_2\)范数=频域\(H_2\)范数
设\(U(j\omega)\)为\(u(t)\)的傅式变换的象函数，如果\(u(t) \in L_2(-\infty,+\infty)\)，则\(U(j\omega) \in L_2\)，且\(||u(t)||_2=||U(j\omega)||_2\)
证明过程：
\(\langle u,v \rangle = \int_{-\infty
}^{+\infty} v^*(t)u(t)dt = \int_{-\infty }^{+\infty} v^*(t) \cdot
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{+\infty} u(j\omega)e^{j\omega t}d\omega
dt\)
\(=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty }^{+\infty}
u(j\omega) \int_{-\infty }^{+\infty} v^*(t) e^{j\omega t}d\omega
dt\)
\(=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty }^{+\infty}
U(j\omega)V^*(j\omega)d\omega = \langle U,V \rangle\)
上式被称作Porseval等式。
令\(u=v\)，则有\(||u(t)||_2^2=\langle u,u \rangle=\langle U,U
\rangle=||U(j\omega)||_2^2\)
\(\Rightarrow
||u(t)||_2=||U(j\omega)||_2\)得证。
信号时域、频域空间转换及其等价关系
\(L_2=H_2 \oplus H_2^\bot\)其中\(H_2^\bot\)为\(H_2\)的正交补，是在s闭左半平面解析的函数集。
\(H_2\)在s闭右半平面解析，\(L_2\)在虚轴上解析。
图2 信号时域、频域空间转换及其等价关系
系统的范数
\(H_\infty\)空间：频域传递函数矩阵\(P(s)\)在s闭右半平面解析，且满足式\(\mathop {\sup }\limits_{Re \text{ } s \geqslant
0}\sigma_\max\{P(s)\}<\infty\)的复变函数阵的集合。
\(H_\infty\)范数：\(||P(s)||_\infty=\mathop {\sup }\limits_{Re \text{
} s \geqslant 0}\sigma_\max\{P(s)\}\)
由复变函数极大模原理知其等价于\(||P(s)||_\infty=\mathop {\sup }\limits_\omega
\sigma_\max\{P(jw)\}\)
对于标量系统，上式右端等于幅频特性的最大值。
【定理2.2.3】设\(P \in
H_\infty\)，\(u \in
L_2(-\infty,+\infty)\)。则有
\(||P||=\mathop {\sup}\limits_{u \ne
0}\frac{||y||_2}{||u||_2}=\mathop {\sup}\limits_\omega \sigma_\max
[P(j\omega)]=||P(s)||_\infty\)
工程意义：系统传递阵的\(H_\infty\)范数实际上反映输入/输出信号\(L_2\)范数的最大增益。
注：可以使用Porseval等式证明。
范数的计算
【定理2.2.4】设\(U \in
H_2\)可表示为状态空间实现\(U(s)=C(sI-A)^{-1}B\)，其中A为稳定阵。
则有\(||U(s)||_2=\sqrt{CL_0
C^T}\)，其中\(L_0\)为Lyapunov方程\(AL_0+L_0 A^T=-BB^T\)的正定解。
【定理2.2.5】设\(P(s)=C(sI-A)^{-1}B \in
H_\infty\)。则\(||P(s)||_\infty<1\)的充分必要条件是哈密尔顿(Hamiltonian)矩阵\(H=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}A&BB^T \\
-C^T C&-A^T \end{array}}
\right]\)的所有特征值的实部不等于零。
\(H_\infty\)范数与Riccati方程、Riccati不等式
哈密尔顿矩阵的性质
【引理2.3.1】令\(H=\left[
{\begin{array}{*{20}{c}}A&BB^T \\ -C^T C&-A^T \end{array}}
\right]\)，则矩阵\(H\)与\(-H^T\)相似。
【引理2.3.2】若\(T_1\)为可逆阵，则
(1)\(X=T_2
T_1^{-1}\)为复对称阵，即\(X=X^*\)
(2)X满足代数Ricatti方程\(XA+A^T X+XBB^T X+C^T
C=0\)
由\([X \quad -I]H\left[
{\begin{array}{*{20}{c}}I \\ X \end{array}} \right]=XA+A^T X+XBB^T X+C^T
C=0\)
可知H与Riccati方程具有等价性。
\(H_\infty\)范数与Riccati方程
【定理2.3.1】设\(P(s)=C(sI-A)^{-1}B\)且A为稳定阵。则\(||P(s)||_\infty<1\)的充分必要条件是Riccati方程\(XA+A^T X+XBB^T X+C^T
C=0\)有半正定解\(X \geqslant 0\)且\(A+BB^T X\)是稳定阵。
注：稳定阵，指所有特征值均具有负实部。
\(H_\infty\)范数与Riccati不等式
【定理2.4.1】A为稳定阵且\(||P(s)||_\infty<1\)的充分必要条件是存在正定阵X满足Riccati不等式\(XA+A^T X+XBB^T X+C^T C<0\)。
注：Riccati不等式不等式属于线性矩阵不等式(Linear Matrix
Inequality,LMI)。
图3
Hamiltonian矩阵、H∞范数与Riccati方程的等价关系
有理函数阵的分解与稳定性
\(P(s)\)满足\(P(\infty)=0\)，则\(P(s)\)称为严格真有理函数阵。\(P(\infty)\)是常数阵时，\(P(s)\)称为真有理函数阵。
所有在s闭右半平面解析的真有理函数集合称为\(H_\infty\)空间。
设系统的闭环传递阵\(P(s)\)的状态空间实现为\(\{A,B,C,D\}\)，若\((A,B)\)可稳定且\((C,A)\)可检测，则\(P(s) \in
H_\infty\)的充分必要条件是A的特征值均位于s开左半平面（A为稳定阵）。
\(P(s) \in H_\infty \Leftrightarrow Re[\lambda_i(A)]<0\)
有理函数阵的内外分解
如果传递函数阵\(U(S) \in
H_\infty\)满足\(U^T
(-s)U(s)=I\)则称\(U(s)\)为内矩阵。
【引理2.6.1】设\(U_i(s)=\{A,B,C,D\}\)，D列满秩，\((A,C)\)可检测。
如果存在半正定阵\(X \geqslant
0\)使得\(\left\{
{\begin{array}{*{20}{c}}XA+A^T X+C^T C=0 \\ D^T C+B^T X=0 \\ D^T D=I
\end{array}} \right.\)
则A为稳定阵且\(U_i(s)\)为内矩阵。
线性系统的稳定性、能控性、能观性、可稳定性、可观测性
①稳定性(Stability)
A的特征值均位于s开左半平面，即\(Re[\lambda_i(A)]<0\)
②能控性、可控性(Controllability)
秩判据：\(rank[B,AB,{A^2}B, \cdot \cdot \cdot
,{A^{n - 1}}B]=n\)
③能观性、可观测性(Observability)
秩判据：\(rank\left[ \begin{gathered} C \\ CA
\\ \vdots \\ C{A^{n-1}} \\ \end{gathered}\right]=n\)
注：关于能控性、能观性的更多介绍，见线性系统理论04-线性系统的能控性和能观测性
④可稳定性(Stabilizability)
指的是存在状态负反馈使得系统稳定。
判据：\(\forall Re(\lambda_i) \geqslant
0\)，有\(rank[A-\lambda_i I \quad
B]=n\)（行满秩）
若单个极点\(\lambda_i\)满足上述判据，则该极点为可控极点，反之该极点为不可控极点。
能控性与可稳定性的关系：
能控的系统一定可稳定，但可稳定系统不一定能控。
如果所有\(\lambda_i\)极点均为可控极点，则称\((A,B)\)能控；如果\((A,B)\)所有不可控极点满足\(Re(\lambda_i)<0\)则称\((A,B)\)可稳定。
⑤可检测性(Detectablility) 指的是观测器系统是不是可稳定的。
判据：\(\forall Re(\lambda_i) \geqslant
0\)，有\(rank\left[ \begin{gathered}
A-\lambda_i I \\ C \end{gathered}\right]=n\)（列满秩）
若单个极点\(\lambda_i\)满足上述判据，则该极点为可观测极点，反之该极点为不可观测极点。
能观性与可检测性的关系：
能观的系统一定可检测，但可检测系统不一定能观。
如果所有\(\lambda_i\)极点均为可观测极点，则称\((C,A)\)能观；如果\((C,A)\)所有不可观测极点满足\(Re(\lambda_i)<0\)则称\((C,A)\)可检测。
总结：能控性与能观性、可稳定性与可检测性有对偶关系。关于可稳定性与可检测性具体内容可见教材P284。
Lyapunov方程
李雅普诺夫(Lyapunov)方程的形式为\(A^T
X+XA=-C^T C\)
【定理2.7.1】设\((C,A)\)为可观测对，则Lyapunov方程具有正定解\(X>0\)的充要条件是
\(Re\{\lambda_i(A)<0\} \quad
i=1,2,\cdots,n\)
【定理2.7.2】设\((C,A)\)为可检测对，则Lyapunov方程具有半正定解\(X \geqslant 0\)的充要条件是
\(Re\{\lambda_i(A)<0\} \quad
i=1,2,\cdots,n\)
【推论2.7.1】对于给定的正定阵\(Q>0\)，Lyapunov方程\(A^T X+XA=-Q\)具有正定解\(X>0\)的充要条件是
\(Re\{\lambda_i(A)<0\} \quad
i=1,2,\cdots,n\)
可以解Lyapunov方程求出X是否正定来判断系统稳定性。
【推论2.7.2】设\((A,B)\)为可控制对，Lyapunov方程\(A^T X+XA=-BB^T\)具有正定解\(X>0\)的充要条件是
\(Re\{\lambda_i(A)<0\} \quad
i=1,2,\cdots,n\)
【推论2.7.1】设\((A,B)\)为可稳定对，Lyapunov方程\(A^T X+XA=-Q\)具有半正定解\(X \geqslant 0\)的充要条件是
\(Re\{\lambda_i(A)<0\} \quad
i=1,2,\cdots,n\)
注：关于Lyapunov方程的更多介绍，见线性系统理论05-系统运动的稳定性
线性分数变换
设传递函数阵\(\Theta(s)=\left[ \begin{gathered} \Theta_{11}(s)&\Theta_{12}(s) \\ \Theta_{21}(s)&\Theta_{22}(s) \end{gathered}\right]\)对于给定的\(\Theta(s)\)和传递函数阵\(K(s)\)，定义线性分数变换(Linear Fractional Transformation,LFT)如下：
\(LFT(\Theta,K)=\Theta_{11}(s)+\Theta_{12}(s)K(s)[I-\Theta_{22}(s)K(s)]^{-1}\Theta_{21}(s)\)
\(=\Theta_{11}(s)+\Theta_{12}(s)[I-K(s)\Theta_{22}(s)]^{-1}K(s)\Theta_{21}(s)\)
图4
线性分数变换
反馈系统如上图(a)所示，\(\Theta\)表示输入信号\(u_1,u_2\)至输出信号\(y_1,y_2\)的传递函数阵，即
\(\left[ \begin{gathered} y_1 \\ y_2
\end{gathered}\right]=\Theta(s)\left[ \begin{gathered} u_1 \\ u_2
\end{gathered}\right]\)
令\(u_2=K(s)y_2(s)\)，则有\(y_1=LFT(\Theta(s),K(s))u_1\)
其中\(u_1\)到\(y_1\)的闭环传递函数\(T_{y_1 u_1}=LFT(\Theta(s),K(s))\)
同理，对于上图(b)所示的\(H_\infty\)控制器，令\(u(s)=K(s)y(s)\)，则有\(Z(s)=T_{zw}W(s)\)
其中\(T_{zw}=LFT(G(s),K(s))\)