为完成鲁棒控制理论与应用与交流伺服电机及其控制课程大作业所整理的笔记。
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本文首先介绍\(H_\infty\)标准设计问题和永磁同步电动机(PMSM)的数学模型，根据数学模型与电机参数进行\(H_\infty\)鲁棒控制器设计。使用Simulink搭建\(H_\infty\)控制PMSM调速系统仿真模型，将其与采用传统双闭环PI控制的PMSM调速系统进行对比分析，通过分析二者的动态与稳态性能，来证明\(H_\infty\)鲁棒控制在提高系统抗扰动能力的鲁棒性上的有效性。
\(H_\infty\)标准设计问题
\(H_\infty\)控制问题可以归结为如下图所示的标准设计问题。其中\(w\)为干扰输入信号、\(z\)为评价信号、\(u\)为控制输入信号（对于\(K(s)\)而言是输出信号）、\(y\)为观测量（对于\(K(s)\)而言是输入量）。
\(G(s)\)是由输入信号\(u,w\)到输出信号\(z,y\)的传递函数阵，被称为增广被控对象。\(K(s)\)为反馈控制器。
图1
H∞标准设计问题
传递函数\(G(s)\)的状态空间实现（增广被控对象）可由下式给出：
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dot
x}={\bf A}x+{\bf B_1}w+{\bf B_2}u \\ z={\bf C_1}x+{\bf D_{11}}w+{\bf
D_{12}}u \\ y={\bf C_2}x+{\bf D_{21}}w+{\bf D_{22}}u
\end{array}}\right.\)①
式中，x为n维变量，w为r维信号向量，u为p维、z为m维、
y为q维信号向量，该式亦可表示为：
\(G(s)=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
G_{11}(s)&G_{12}(s) \\
G_{21}(s)&G_{22}(s)\end{array}}\right]=\left[
{\begin{array}{*{20}{c}} {\bf A}&{\bf B_1}&{\bf B_2} \\ {\bf
C_1}&{\bf D_{11}}&{\bf D_{12}}\\ {\bf C_2}&{\bf
D_{21}}&{\bf D_{22}} \end{array}}\right]\)②
从w到z的闭环传递函数为：
\(T_{zw}=LFT(G(s),K(s))=G_{11}+G_{12}K(I-G_{22}K)^{-1}G_{21}\)③
对于增广被控对象，需要求解传递函数的范数\(\parallel {T_{zw}}(s){\parallel _\infty
}\)最小，进而求得控制器\(K(s)\)，即\(\min
\parallel {T_{zw}}(s){\parallel _\infty } = {\gamma _0}\)
由此可以定义\(H_\infty\)的次优设计问题如下：
对于给定的增广被控对象\(G(s)\)和\(\gamma(\gamma>\gamma_0)\)，求反馈控制器\(K(s)\)使得闭环系统内部稳定且\({T_{zw}}(s)\)满足
\(\parallel {T_{zw}}(s){\parallel_\infty }
< \gamma\)④
若满足式④，则对于给定的被控对象\(G(s)\)存在次优解，可以通过反复地减小\(\gamma\)来进行对此迭代，将控制器的解慢慢逼近最优解，即\(\gamma \to {\gamma_0}\)。
这样式④就等价于\(\parallel \frac{1}{\gamma
}{T_{zw}}(s){\parallel _\infty } < 1\)⑤
其中\(\frac{1}{\gamma
}{T_{zw}}(s)\)对应增广被控对象\(G(s) =
\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { {\gamma ^{ - 1}}{G_{11}}(s)}&{
{G_{12}}(s)} \\ { {\gamma ^{ - 1}}{G_{21}}(s)}&{ {G_{22}}(s)}
\end{array}} \right]\)⑥
上述增广被控对象和控制器\(K(s)\)能构成如图1所示系统的闭环传递函数。在实际工程中，往往采用\(\gamma=1\)的情况，这使得式④等价于\(\parallel {T_{zw}}(s){\parallel_\infty } <
1\)⑦
通过这样的变换，可以将控制器的设计问题转化为标准的\(H_\infty\)设计问题。
讨论状态反馈\(H_\infty\)控制器的设计问题。即设系统的观测量等于系统的状态变量\(y=x\)，在增广被控对象满足特定条件的前提下，直接基于Riccati不等式的设计方法。
这里给出\(H_\infty\)次优设计问题在\(D_{11}=0,D_{12}\)列满秩的特例下的特解。
设增广被控对象的状态空间实现为\(\left\{
{\begin{array}{*{20}{c}}{\dot x = {\mathbf{A}}x + {
{\mathbf{B}}_{\mathbf{1}}}w + { {\mathbf{B}}_{\mathbf{2}}}u} \\ {z = {
{\mathbf{C}}_{\mathbf{1}}}x + { {\mathbf{D}}_{ {\mathbf{12}}}}u}
\end{array}} \right.\)⑧
且\(rank{\bf{D_{12}}}=p\)，\(({\bf{A}},{\bf{B_2}})\)可稳定，即\(G(s) = \left[
{\begin{array}{*{20}{c}}{\mathbf{A}}&{ {
{\mathbf{B}}_{\mathbf{1}}}}&{ { {\mathbf{B}}_{\mathbf{2}}}}\\{ {
{\mathbf{C}}_{\mathbf{1}}}}&0&{ { {\mathbf{D}}_{
{\mathbf{12}}}}} \\ {\mathbf{I}}&0&0
\end{array}}\right]\)⑨
对式⑧所示的系统，考虑状态反馈控制器\(u =
{\mathbf{K}}x,\quad {\mathbf{K}} \in {R^{p \times n}}\)⑩
可以使用以下的结论求得控制器：对于给定的\(\gamma>0\)，存在\(\mathbf{K}\)使得闭环系统⑧和⑩内部稳定且\(\parallel {T_{zw}}(s){\parallel_\infty } <
\gamma\)成立的充分必要条件是存在正定阵\({\bf X}>0\)，满足Riccati不等式
\({\bf A}^T{\bf X}+{\bf XA}+\gamma^{-2}{\bf
XB_1 B_1}^T {\bf X}+{\bf C_1}^T {\bf C_1}-({\bf XB_2}+{\bf C_1}^T {\bf
D_{12}})({\bf D_{12}}^T {\bf D_{12}})^{-1}({\bf B_2}^T {\bf X}+{\bf
D_{12}}^T {\bf C_1})<0\)⑪
若上述不等式有正定解，则使闭环系统稳定且式④成立的反馈阵由下式给出
\({\bf K}=-({\bf D_{12}}^T {\bf
D_{12}})^{-1}({\bf B_2}^T {\bf X}+{\bf D_{12}}^T {\bf
C_1})\)⑫
PMSM数学模型
基于PMSM的实际工作特性，建立PMSM的数学模型，在这里对PMSM做出如下假设：
1）忽略铁芯饱和；
2）不计涡流和磁滞损耗；
3）转子上没有阻尼绕组，永磁体也没有阻尼作用；
4）反电动势是正弦的。
以转子参考坐标，建立d-q坐标系。取永磁体基波磁场的方向为d轴，q轴顺着旋转方向超前d轴90°电角度，转子参考坐标的旋转速度即为转轴速度。
电压方程为：\(\left\{
{\begin{array}{*{20}{c}}{ {u_q} = {R_s}{i_q} + p{\psi _q} + {\omega
_r}{\psi _d}} \\ { {u_d} = {R_s}{i_d} + p{\psi _d} - {\omega _r}{\psi
_q}} \end{array}} \right.\)⑬
磁链方程为：\(\left\{
{\begin{array}{*{20}{c}}{ {\psi _q} = {L_q}{i_q}} \\ { {\psi _d} =
{L_d}{i_d} + {\psi _f}} \end{array}} \right.\)⑭
上述公式中，\(u_d,u_q\)为d,q轴电压；\(\psi_d,\psi_q\)为d,q轴磁链；\(i_d,i_q\)为d,q轴电流；\(L_d,L_q\)为d,q轴电感；\(R_s\)为定子相电阻；\(\omega_r\)为转子电角速度；\(\psi_f\)为永磁体的励磁磁链；p为微分算子。
转矩方程为：\({T_{em}} =
\frac{3}{2}{p_n}[{\psi _q}{i_q} + ({L_d} -
{L_q}){i_d}{i_q}]\)⑮
式中，\(T_{em}\)为电磁转矩，\(p_n\)为电机的极对数，若采取\(i_d=0\)矢量控制策略，则转矩方程可简化为：
\({T_{em}} = \frac{3}{2}{p_n}{\psi
_f}{i_q}\)⑯
此时\(\psi_f=\psi_q\)，转矩大小与\(i_q\)大小成正比，可以更方便地通过控制\(i_q\)大小来控制转矩。
运动方程为：\({T_{em}} = {T_l} + B{\Omega _r}
+ Jp{\Omega _r}\)⑰
式中，\(T_l\)为负载转矩，B为粘滞摩擦系数，\(\Omega_r\)为机械角速度，J为转子和所带负载的总转动惯量。
由电角速度\(\omega_r\)与机械角速度\(\Omega_r\)的关系\(\omega_r=p_n
\Omega_r\)，可以将运动方程可整理为：
\({T_{em}} - {T_l} = \frac{J}{ { {p_n}}}\frac{
{d{\omega _r}}}{ {dt}} + \frac{B}{ { {p_n}}}{\omega _r}\)⑱
根据上述方程所推导出的状态方程为：\(\left\{
\begin{gathered}p{i_d} = ({u_d} - {R_s}{i_d} +
{\omega_r}{L_q}{i_q})/{L_d} \hfill \\p{i_q} = ({u_q} - {R_s}{i_q} -
{\omega_r}{L_d}{i_d} - {\omega_r}{\psi_f})/{L_q} \hfill \\p{\omega_r} =
({p_n}{T_{em}} - {p_n}{T_l} - B{\omega_r})/J \hfill \\ \end{gathered}
\right.\)⑲
\(H_\infty\)鲁棒控制器设计
根据PMSM的数学模型及系统控制的实际需要，建立如下的\(H_\infty\)鲁棒控制器。
首先，确定状态变量为：\(\left[
{\begin{array}{*{20}{c}} x_1&x_2&x_3
\end{array}}\right]^T=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
\omega_r&i_q&\int_0^t (\omega_r^*-\omega_r)dt
\end{array}}\right]^T\)⑳
式中，\(\omega_r\)为电机转速给定值，\(i_q\)为q轴电流，\(\int_0^t (\omega_r^*
-\omega_r)dt\)为给定转速与实际转速差值的积分变量，其作用是消除系统的稳态误差。
考虑到系统的扰动主要来自负载转矩与转速给定的变化，选取系统扰动变量为：\(w=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
T_L&\omega_r^* \end{array}}\right]^T\)㉑
设PMSM系统增广被控对象的状态空间实现为式⑧的形式，则\(G(s)\)可列为式⑨的形式。
根据如式⑯和式⑲所示的系统的状态方程，得到式⑨中的参数矩阵\({\bf A},{\bf {B_1}},{\bf
{B_2}}\)分别为：
\({\bf A}=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
-\frac{B}{J}&\frac{3p_n^2 \psi_f}{2J}&0 \\
-\frac{\psi_f}{L_q}&-\frac{R_s}{L_q}&0 \\ -1&0&0
\end{array}}\right],{\bf B_1}=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
-\frac{p_n}{J}&0 \\ 0&0 \\ 0&-1 \end{array}}\right],{\bf
B_2}=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ \frac{1}{L_q} \\ 0
\end{array}}\right]\)㉒
定义评价信号为：
\(z = {\bf{C_1}}x+{\bf{D_{12}}}u=\left[
{\begin{array}{*{20}{c}} \sqrt q_1&0&0 \\ 0&\sqrt q_2&0
\\ 0&0&\sqrt q_3 \\ 0&0&0 \end{array}}\right]x+\left[
{\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \sqrt \rho
\end{array}}\right]\)㉓
对系统按照式⑩的要求设计状态反馈控制器，采用标准\(H_\infty\)设计方法，借助MATLAB解⑪、⑫式就可以求得控制器\(\bf K\)。
下面根据电机的参数计算控制器\(\bf
K\)，电机具体参数如下：
定子电阻\({R_s} =
0.958\Omega\)，极对数\(p_n=4\)，粘滞摩擦系数\(B = 0.008N \cdot M \cdot s\)，d轴电感\({L_d} = 5.25mH\)，q轴电感\({L_q} = 12mH\)，永磁体的励磁磁链\({\Psi _f} = 0.1827wb\)，转动惯量\(J = 0.003kg \cdot {m^2}\)。
将上述参数代入式㉒，得到参数矩阵如下：
\({\mathbf{A}} = \left[
{\begin{array}{*{20}{c}} { - 2.667}&{1491.6}&0 \\ { -
15.225}&{79.833}&0 \\ { - 1}&0&0 \end{array}} \right],{
{\mathbf{B}}_{\mathbf{1}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { -
1333.3}&0 \\ 0&0 \\ 0&{ - 1} \end{array}} \right],{
{\mathbf{B}}_{\mathbf{2}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\
{83.333} \\ 0 \end{array}} \right]\)㉔
取评价信号加权系数\({q_1} =
0.0009\)、\({q_2} =
0.011\)、\({q_3} =
101.85\)、\(\rho =
0.000625\)代入式㉓。
使用MATLAB解上述参数矩阵构成的Riccati不等式。这里使用了MATLAB的μ分析与综合工具箱的hinffi.m函数，涉及模型构成、模型转换、hinffi命令共三条语句，其程序代码为：
1
2
3p=[A,B1,B2;C1,zeros(q,m),D12];
sys=pss2sys(p,n);
[k,g,gfin,ax,hamx]=hinffi(sys, r, 0, 1, 20, 1, 2);
这里取q=4,m=2,n=3,r=1，运行代码后得到控制器\(\bf K\)的值：
\({\mathbf{K}} = \left[
{\begin{array}{*{20}{c}} { - 2.821}&{ - 12.032}&{458.180}
\end{array}} \right]\)㉕
仿真模型搭建与数据分析
根据控制系统的稳态与动态性能的要求，设计出PMSM的\(H_\infty\)控制系统原理图如下图所示。
图2
H∞控制系统原理图
PMSM控制系统采用空间电压矢量调制(Space Vector Pulse Width Modulation，SVPWM)技术，空间电压矢量调制又被称作称“磁链跟踪控制”。它以三相正弦波电压供电时交流电机的理想磁通轨迹为基准，通过三相功率逆变器的六个功率开关元件组成的特定开关模式来产生的脉宽调制波，用逆变器不同的开关模式产生的实际磁通去逼近基准磁通圆，从而达到较高的控制性能。
同时，该系统采取了\(i_d=0\)矢量控制策略，该方法实现了对PMSM的解耦控制，具有控制简单、调速范围宽、转矩特性好、有效降低铜耗的优点。
根据图2所示的PMSM的\(H_\infty\)控制系统原理图，应用MATLAB软件建立如图3所示的永磁同步电机控制系统Simulink仿真模型，将其与采用双闭环PI控制的系统进行对比分析。以验证\(H_\infty\)鲁棒控制器在改善系统的动态与稳态性能上的有效性。
图3
H∞控制系统仿真模型
图4
H∞控制器仿真模型
为了进行对比分析，再搭建一个转速、电流双闭环控制的PI控制的PMSM控制系统，使用工程整定方法确定转速环与电流环的PI控制器参数。
取转速环PI控制器参数\({k_p} =
0.2\)，\({k_i} = 30\)，输出\(i_q^*\)的限幅范围为-25.7A≤\(i_q^*\)≤25.7A；
取电流环\(i_q\)的PI控制器参数\({k_p} = 300\)，\({k_i} = 23950\)，输出\(u_q^*\)的限幅范围为-161.6V≤\(u_q^*\)≤161.6V；
取电流环\(i_d\)的PI控制器参数\({k_p} = 131.25\)，\({k_i} = 23950\)，输出\(u_d^*\)的限幅范围为-161.6V≤\(u_d^*\)≤161.6V，为了起到对照作用，这一组参数与\(H_\infty\)控制系统中的电流环\(i_d\)的PI控制器参数保持一致。
接下来确定所要观察的控制系统动态与稳态性能指标。
所要分析的动态与稳态性能指标如下：动态性能指标包括上升时间\(t_r\)、峰值时间\(t_p\)、调节时间\(t_s\)、超调量\(\tau\)。这里我们主要考察系统起动和受到负载扰动情况下的调节时间（或恢复时间）与超调量，并取系统从响应至保持在终值±
2%所经过的时间作为调节时间（或恢复时间）。稳态性能指标指系统的稳态误差。
分别对PI控制的系统与\(H_\infty\)控制的系统进行仿真分析，设定为电机转速给定值\(\omega_r^* = 1000r/\min\)，使其空载起动，0.1秒后对电机施加12\(N \cdot m\)的负载转矩，仿真得到电机转速\(\omega_r\)与电流\(i_q\)的波形，对其动态与静态性能进行对比分析。
PI控制系统与\(H_\infty\)控制系统起动和突加负载的转速响应曲线如图5与图6所示，电流响应曲线如图7与图8所示。
图5 PMSM PI控制转速响应曲线
图6 PMSM H∞控制转速响应曲线
由转速响应曲线归纳出的数据表明，二者在稳态性能上均符合控制需求，在动态性能指标上，\(H_\infty\)控制系统具有更短的调节时间与恢复时间，以及更小的超调量，这说明相较于PI控制系统，\(H_\infty\)控制系统具有更好的快速性。
图7 PMSM PI控制电流响应曲线
图8 PMSM H∞控制电流响应曲线
图14为\(H_\infty\)控制系统的电流\(i_q\)响应曲线，可以观察到电机起动后电流同样迅速上升，但上升速度较PI控制系统更快，在1.92ms便达到25.7A，由于\(H_\infty\)控制系统没有设计限幅环节，因此电流继续上升，在6.31ms上升至峰值59.6A，随后电流迅速下降，在0.02s时刻之后趋于稳定。0.1s突加负载后，电流回归稳态所用恢复时间为13.43ms。
由电流响应曲线归纳出的数据表明，\(H_\infty\)控制系统具有更好的快速性。对于扰动的恢复时间更短，即具有更好的抵抗扰动的能力。
结论
为解决PMSM运行过程中，容易受到来自控制系统内部和外部扰动的多种不确定性因素的影响的问题，设计采用\(H_\infty\)鲁棒控制的PMSM控制系统，将其与传统PI控制的系统进行仿真分析，分析仿真效果以验证\(H_\infty\)鲁棒控制在提升控制系统动态与稳态性能的有效性。
首先，介绍了\(H_\infty\)控制基本原理，以及将控制器设计问题转化为\(H_\infty\)鲁棒控制标准问题的基本过程，并说明了一种情况下的\(H_\infty\)鲁棒控制器的设计方法。
随后建立了永磁同步电动机的数学模型。
接下来根据所建立的PMSM数学模型，结合系统的实际控制需求，以及系统的主要扰动来源，并选取合适的评价信号加权系数，最终得到系统的增广被控对象
。借助MATLAB解Riccati不等式的正定解，进而得到\(H_\infty\)控制器的参数矩阵\(\bf K\)。
最后对采用\(H_\infty\)控制的系统与采用双闭环PI控制的系统进行Simulink仿真对比分析，比较二者在电机起动与突加负载的情况下的转速与电流响应曲线，根据曲线得到两种控制方法下电机起动时的转速调节时间、超调量与电流\(i_q\)的调节时间，突加负载时转速与电流\(i_q\)的恢复时间。
仿真结果表明，采用\(H_\infty\)控制的调速系统的调节时间、超调量与恢复时间均小于采用双闭环PI控制的调速系统。且对于系统状态突变的响应更快，这说明采用\(H_\infty\)控制的调速系统具有更好的抵抗扰动的能力，即鲁棒性更强。
最终得出结论，相较于PI控制的永磁同步电机系统，采用\(H_\infty\)控制器的系统具有更好的动态与稳态性能，这验证了\(H_\infty\)控制器在提高控制系统鲁棒性方面的有效性。
参考资料
- 申铁龙. H∞控制理论及应用[M]. 北京:清华大学出版社,1996
- 郭庆鼎,孙宜标,王丽梅. 现代永磁电动机交流伺服系统[M]. 北京:中国电力出版社,2006
- 蓝益鹏．永磁直线电机伺服系统鲁棒控制的研究[D]．沈阳：沈阳工业大学，2007．
- 张馨圆， 蓝益鹏. 直线同步电机参数不确定性系统H∞控制策略[J]. 电机与控制应用，2020，47(11)：18-24.
- 蔡超豪. 永磁同步电动机的鲁棒H∞控制[J]. 电气传动自动化，2006，28(2)：13-15.