最初是为完成鲁棒控制理论与应用与交流伺服电机及其控制课程大作业所整理的笔记。
将陆续补充内容，介绍永磁同步电动机的结构、数学模型、空间脉宽矢量调制方法（SVPWM）、控制策略等内容。
按照教材及网络上的内容整理，若有错误敬请指正。
绪论
从分类上看，永磁同步电机属于交流电机、同步电机（电机转速与定子磁场的同步转速始终保持相同的交流电机）。
交流永磁伺服电动机主要有两大类，一是无刷直流电动机(The Blush-less DC
Motor,BDCM)，二是永磁同步电动机(Permanent Magnet Synchronous
Motor,PMSM)。本文主要论述永磁同步电动机。
无刷直流电动机用装有永磁体的转子取代有刷直流电机的定子磁极，用定子电枢取代原有刷直流电机的转子电枢。线圈不动，磁极旋转。不同与有刷直流电机采用机械换向器将直流电流转换为交流，无刷直流电机采用电子换向方式（如霍尔传感器），将方波电流（三相对称的）直接输入定子。
注：无刷直流电机虽然名字中含有“直流”，但实际上是交流电机，这是因为其输入到定子的电流是交流电。名字中的“直流”仅仅体现了其由有刷直流电机改进而来。
永磁同步电动机与之类似，与无刷直流电机的最大区别为其输入到定子的电流是正弦波。
永磁同步电动机定子与绕线式同步电动机基本相同，要求输入的电流是三相正弦交流电。绕线式同步电动机转子中的励磁绕组被替换为永磁体，从而省去了励磁线圈、滑环与电刷。通过电子换向方式实现无刷运行。
交流永磁伺服电动机按结构可分为内转子式和外转子式；按磁场方向可分为径向和轴向；按定子结构可分为分布绕组和集中绕组、有槽和无槽。
按转子结构可分为凸装式、嵌入式和内埋式三种，前两种又可称作外装式。凸装式按永磁体形状又可分为圆套筒型、瓦片型和扇状型。
凸装式交流永磁伺服电动机实质上是一种隐极式同步电动机，其永磁材料的磁导率接近空气，所以交、直轴电感相同\(L_q=L_d\)。气隙磁场均匀，可以使用解析法近似计算。
而嵌入式和内埋式属于凸极式同步电动机，交轴电感大于直轴电感\(L_q>L_d\)（与传统绕线式凸极同步电动机相反），这使得其在产生电磁转矩的同时还会产生磁阻转矩。气隙磁场不是正弦分布，磁路复杂，需采用有限元法计算。
三相永磁同步电动机的数学模型
电压方程与磁链方程
PMSM的定子和普通电励磁三相同步电动机的定子是相似的。如果永磁体产生的感应电动势(反电动势)与励磁线圈产生的感应电动势一样，也是正弦的，那么PMSM的数学模型就与电励磁同步机基本相同。在推导中，做了如下假设：①忽略铁芯饱和；
②不计涡流和磁滞损耗；
③转子上没有阻尼绕组，永磁体也没有阻尼作用；
④反电动势是正弦的。
图1
二极PMSM简化结构图
一台二极PMSM的简化结构图如上图所示。这里用固定于转子的参考坐标来描述和分析它们的稳态和动态性能。
其中AX、BX、CX表示A、B、C三相线圈（定子三相绕组），A、B、C为首端，X、Y、Z为尾端。将各绕组首端流出电流、
尾端流入电流规定为该相电流的正方向。
as、bs、cs为A、B、C三相绕组的轴线方向。其方向可由各绕组右手螺旋定则确定。由此建立了一个三相静止坐标系（又称3s坐标系，固定在定子上）。
\(i_s,F_f\)为空间矢量。
图中，假定了定子电流的正方向。正向电流流进相绕组产生的正弦分布磁通势波的轴线就是该相绕组的轴线。假定相绕组中反电动势的正方向与电流正方向相反。取转子逆时针旋转方向为正。
取永磁体基波磁场的方向为d轴。而q轴顺着旋转方向超前d轴90°电角度。转子参考坐标的旋转速度即为转轴速度。转子参考坐标的空间坐标以q轴与固定轴线A相绕组轴线间的电角度\(\theta_r\)来确定。
由此建立了dq坐标系（又称2r坐标系，固定在转子上）。
三相静止坐标系定子电压方程：
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} u_a \\ u_b
\\ u_c \end{array}}\right]=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
R_s&0&0 \\ 0&R_s&0 \\ 0&0&R_s
\end{array}}\right] \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} i_a \\ i_b \\ i_c
\end{array}}\right]+p\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \psi_a \\ \psi_b \\
\psi_c \end{array}}\right]\)
其中\(u_a,u_b,u_c\)为定子绕组的相电压，\(i_a,i_b,i_c\)为定子绕组的相电流，\(R_s\)为电枢电阻，p为微分算子（代替\(\frac{d}{dt}\)），\(\psi_a,\psi_b,\psi_c\)为三相定子绕组的全磁链。
三相静止坐标系定子磁链方程：
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \psi_a \\
\psi_b \\ \psi_c \end{array}}\right]=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
L_{aa}&M_{ab}&M_{ac} \\ M_{ba}&L_{bb}&M_{bc} \\
M_{ca}&M_{cb}&L_{cc} \end{array}}\right] \left[
{\begin{array}{*{20}{c}} i_a \\ i_b \\ i_c
\end{array}}\right]+\psi_f\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} cos\theta \\
cos(\theta-\frac{2\pi}{3}) \\ cos(\theta+\frac{2\pi}{3})
\end{array}}\right]\)
其中\(L_{aa}=L_{bb}=L_{cc}\)为各相绕组自感，\(M_{ab}=M_{ac}=M_{ba}=M_{bc}=M_{ca}=M_{cb}\)为各相绕组互感。
\(\psi_f\)为转子永磁体磁场的磁链，仅与转子位置有关，与定子电流无关。\(\theta\)为转子N极和a相轴线之间的夹角。
dq坐标系电压方程：
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} u_d \\ u_q
\end{array}}\right]=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} R_s&-\omega_r
L_d \\ \omega_r L_d&R_s \end{array}}\right]\left[
{\begin{array}{*{20}{c}} i_d \\ i_q \end{array}}\right]+p\left[
{\begin{array}{*{20}{c}} \psi_d \\ \psi_q \end{array}}\right]+\left[
{\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ \omega_r \psi_f
\end{array}}\right]\)
其中\(u_d,u_q\)为dq轴电压，\(i_d,i_q\)为dq轴电流，\(L_d,L_q\)为dq轴电感，\(\psi_d,\psi_q\)为dq轴磁链，\(\omega_r
\psi_f\)为永磁体正弦磁场在转速\(\omega_r\)下q轴绕组产生的感应电动势。
dq坐标系磁链方程：
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \psi_d \\
\psi_q \end{array}}\right]=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} L_d&0 \\
0&L_q \end{array}}\right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} i_d \\ i_q
\end{array}}\right]+\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \psi_f \\ 0
\end{array}}\right]\)
转矩方程与运动方程
参考教材P69内容进行运算
dq坐标系转矩方程：
在转子参考坐标中，取d轴反方向为虚轴，q轴为实轴，取二者合成出来的定子空间电流\({\bf i_s}=i_q-ji_d\)，\(\bf i_s\)与d轴夹角为\(\beta\)（实质：定子三相合成旋转磁通势波轴线与永磁体励磁磁场轴线的夹角）
则有\(i_d={\bf i_s}cos\beta,i_q={\bf
i_s}sin\beta\)
得到转矩方程：\(T_{em}=p_n[\psi_f {\bf
i_s}sin\beta+\frac{1}{2}(L_d-L_q){\bf i_s}^2sin2\beta]\)
其中\(p_n\)为电机的极对数。
可以看出电磁转矩由两个部分组成，第一部分是永磁体和定子绕组磁链之间相互作用，第二部分由磁阻变化而产生。
对于凸装式转子永磁同步电动机（隐极），\(L_d=L_q\)，其电磁转矩不含磁阻引起的部分，\(T_{em}=p_n\psi_f i_q\)。
转矩大小与\(i_q\)成正比，从而通过控制电流\(i_q\)来控制转矩。
对于任意类型的永磁同步电动机，若能控制\(i_d=0\)，就可以将它看作一台典型的他励直流电动机，定子只有交轴分量，且定子磁动势的空间矢量正好和永磁体磁场空间矢量正交。控制\(i_d=0\)也能降低铜耗。
运动方程：
\(T_{em}=T_l+B\Omega_r+Jp\Omega_r\)
其中\(T_l\)为负载转矩，B为粘滞摩擦系数，\(\Omega_r\)为机械角速度，\(J\)为转子和所带负载的总转动惯量。
电角速度\(\omega_r=p_n \Omega_r\)
运动方程可整理为：\(T_{em}-T_l=\frac{J}{p_n}\frac{d\omega_r}{dt}+\frac{B}{p_n}\omega_r\)
状态方程
电压方程与运动方程的状态方程形式如下所示，以便动态仿真：
\(pi_d=(u_d-R_s i_d+\omega_r L_q
i_q)/L_d\)
\(pi_q=(u_q-R_s i_q-\omega_r L_d i_d -\omega_r
L_{md}i_f)/L_q\)
\(p\omega_r=(p_n T_{em}-p_n
T_l-B\omega_r)/J\)
其中\(\psi_f=L_{md}i_f\)，取\(p\psi_f=0\)。
坐标变换
Clarke变换(三相静止绕组⇒两相静止绕组,3s/2s)
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} i_\alpha \\
i_\beta \end{array}}\right]=\frac{N_3}{N_2}\left[
{\begin{array}{*{20}{c}} 1&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2} \\
0&\frac{\sqrt{3}}{2}&-\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{array}}\right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} i_a \\ i_b \\ i_c
\end{array}}\right]\)
Clarke逆变换(两相静止绕组⇒三相静止绕组,2s/3s)
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} i_a \\ i_b
\\ i_c \end{array}}\right]=\frac{N_3}{N_2}\left[
{\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \\ -\frac{1}{2}&\frac{\sqrt{3}}{2}
\\ -\frac{1}{2}&-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}}\right]\left[
{\begin{array}{*{20}{c}} i_\alpha \\ i_\beta
\end{array}}\right]\)
其中\(\frac{N_3}{N_2}\)为三相绕组与两相绕组的匝数比。
当三相电流与两相电流幅值相等时，取\(\frac{N_3}{N_2}=\frac{2}{3}\)
当三相与两相的总功率不变(\(p=u_a i_a+u_b
i_b+u_c i_c=u_\alpha i_\alpha+u_\beta i_\beta\))时，取\(\frac{N_3}{N_2}=\sqrt\frac{2}{3}\)
Park变换(两相静止绕组⇒两相旋转绕组,2s/2r)
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} i_d \\ i_q
\end{array}}\right]=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
cos\varphi&sin\varphi \\ -sin\varphi&cos\varphi
\end{array}}\right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} i_\alpha \\ i_\beta
\end{array}}\right]\)
Park逆变换(两相旋转绕组⇒两相静止绕组,2r/2s)
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} i_\alpha \\
i_\beta \end{array}}\right]=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
cos\varphi&-sin\varphi \\ sin\varphi&cos\varphi
\end{array}}\right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} i_d \\ i_q
\end{array}}\right]\)
其中\(\varphi\)为静止的\(\alpha\)轴与旋转的d轴的夹角。
空间电压矢量调制(SVPWM)
脉宽调制(Pulse Width
Modulation,PWM)指的是利用半导体开关器件的导通与关断，把直流电压变成电压脉冲序列，并通过控制脉冲宽度和脉冲序列的周期来达到调压、调频、控制谐波的目的。
空间电压矢量调制(Space Vector
PWM,SVPWM)又称“磁链跟踪控制”。它以三相正弦波电压供电时交流电机的理想磁通轨迹为基准，通过三相功率逆变器的六个功率开关元件组成的特定开关模式来产生的脉宽调制波，用逆变器不同的开关模式产生的实际磁通去逼近基准磁通圆
，从而达到较高的控制性能。
空间电压矢量指的是随时间变化的交流电动机绕组电压在绕组中的空间位置。
合成空间矢量\(u_s\)由空间中互差120°的三相定子绕组相电压\(u_a,u_b,u_c\)矢量相加而成。其幅值固定不变，为相电压峰值的\(\frac{3}{2}\)倍。
SVPWM的理论基础是平均值等效原理，即在一个开关周期内通过对基本电压矢量加以组合，使其平均值与给定电压矢量相等。
图2 三相两电平电压型逆变器
逆变器内含的器件可以分为三对共六个开关管，其中\(V_1,V_{D1},V_4,V_{D4}\)与PMSM的A相相连，\(V_3,V_{D3},V_6,V_{D6}\)与B相相连，\(V_5,V_{D5},V_2,V_{D2}\)与B相相连，这三对器件的通断决定了其所连接的各相的电压。
这三对器件中的任意一对，在同一时刻内都有且仅有一个开关管导通，同时另一个开关管截止。这样就可以定义出如下所示的开关函数：
\(S(x)=\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 1,\quad x相上桥臂导通 \\ 0,\quad x相下桥臂导通 \end{array}}\right.\)
得到对应于\(A,B,C\)三相的开关函数\(S(A),S(B),S(C)\)，一共可以形成8种组合，如下表所示：
图3
电压空间矢量图
可以看到矢量图被划分为6个扇区，任意属于矢量图范围内的矢量都可以通过这8种组合合成得到。
其矢量的合成按照“伏秒平衡”的原则得到，如下式所示：
\(U_{ref}\cdot T_s = {U_x}\cdot{T_x} +
{U_y}\cdot{T_y} + {U_0}\cdot{T_0}\)
其中，\(U_{ref}\)为要合成出来的目标电压矢量；\(T_s\)为采样周期；\(T_x,T_y,T_0\)分别为对应两个非零电压矢量\(U_x,U_y\)和零电压矢量\(U_0\)在一个采样周期的作用时间，\(T_x+T_y+T_0=T_s\)；其中\(U_0\)包括了\(U_0\)和\(U_7\)两个零矢量。
该式的意义是，矢量\(U_{ref}\)在一个周期\(T_s\)内所产生的积分效果值和\(U_x,U_y,U_0\)分别在时间\(T_x,T_y,T_0\)内产生的积分效果相加总和值相同。
比如Ⅰ扇区内的某个矢量就可以通过\(U_0,U_4,U_6,U_7\)合成得到。
①判断所在的扇区
定义变量\(A,B,C\)
若\(U_\beta>0\)，则A=1，反之A=0；
若\(\sqrt 3 U_\alpha-U_\beta>0\)，则B=1，反之B=0；
若\(-\sqrt 3 U_\alpha-U_\beta>0\)，则C=1，反之C=0；
得到\(N=A+2B+4C\)
N与扇区的对应关系如下表所示：
| 扇区 | Ⅰ | Ⅱ | Ⅲ | Ⅳ | Ⅴ | Ⅵ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| N | 3 | 1 | 5 | 4 | 6 | 2 |
定义参数\(X,Y,Z\)
计算\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} X=\frac{\sqrt 3 T_s}{U_d}U_\beta \\ Y=\frac{\sqrt 3 T_s}{U_d}(\frac{\sqrt 3}{2}U_\alpha+\frac{1}{2}U_\beta) \\ Z=\frac{\sqrt 3 T_s}{U_d}(-\frac{\sqrt 3}{2}U_\alpha+\frac{1}{2}U_\beta) \end{array}}\right.\)
查表得到\(T_x,T_y\)，\(T_0=T_s-T_x-T_y\)
| 扇区 | Ⅰ | Ⅱ | Ⅲ | Ⅳ | Ⅴ | Ⅵ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| N | 3 | 1 | 5 | 4 | 6 | 2 |
| \(T_x\) | -Z | Z | X | -X | -Y | Y |
| \(T_y\) | X | Y | -Y | Z | -Z | -X |
这种方法将\(U_0\)安排在一个周期的开头与结尾，\(U_7\)则安排在周期的中间。
以第Ⅰ扇区(N=3)为例，其基本空间矢量顺序为\(U_0 \rightarrow U_4 \rightarrow U_6 \rightarrow U_7 \rightarrow U_6 \rightarrow U_4 \rightarrow U_0\)，形成了一个对称的结构。
图4 第Ⅰ扇区七段式PWM波形
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} T_a=\frac{T_s-T_x-T_y}{4} \\ T_b=T_a+\frac{T_x}{2} \\ T_c=T_b+\frac{T_y}{2} \end{array}}\right.\)
\(T_{cm1},T_{cm2},T_{cm3}\)与\(T_a,T_b,T_c\)的对应关系如下表所示：
| 扇区 | Ⅰ | Ⅱ | Ⅲ | Ⅳ | Ⅴ | Ⅵ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| N | 3 | 1 | 5 | 4 | 6 | 2 |
| \(T_{cm1}\) | \(T_a\) | \(T_b\) | \(T_c\) | \(T_c\) | \(T_b\) | \(T_a\) |
| \(T_{cm2}\) | \(T_b\) | \(T_a\) | \(T_a\) | \(T_b\) | \(T_c\) | \(T_c\) |
| \(T_{cm3}\) | \(T_c\) | \(T_c\) | \(T_b\) | \(T_a\) | \(T_a\) | \(T_b\) |
注：不同的参考文献对于扇区号有不同的定义，本文选取的定义为以\(\alpha-\beta\)坐标系第一象限上的，与\(\alpha\)轴夹角为0~60°范围的区域为Ⅰ扇区，然后逆时针方向依次为Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ扇区，它们的N值分别为3,1,5,4,6,2。
部分参考文献直接使用N值来定义扇区号，二者相等（将N值1-6定义为Ⅰ—Ⅵ扇区），这种定义方法更适合做仿真分析。
永磁同步电动机的控制策略
永磁同步电机的控制策略主要有以下几种：矢量控制(Field Oriented Control，FOC)、恒压频比控制(VVVF)、直接转矩控制(Direct Torque Control，DTC)和基于现代控制理论的自适应控制和滑模控制等。
矢量控制
矢量控制是通过坐标变换(CLARKE变换与PARK变换)的方法将交流电机近似等效为直流电机，从而获得像直流电机的控制量，保证良好的动态特性。本文将采用矢量控制策略对永磁同步电动机进行控制。
图5 永磁同步电机矢量控制系统框图
PMSM矢量控制方法主要有以下几种：
(1)\(i_d=0\)控制
由前文的论述可知，d轴是永磁体基波磁场的方向，\(i_d\)又可称作励磁电流。
q轴以顺时针超前d轴90°电角度，\(i_q\)值与可以影响到电磁转矩，因此\(i_q\)又可称作转矩电流。
若能控制励磁电流\(i_d=0\)，则电磁转矩直接与\(i_q\)成正比。此时定子只有交轴分量，其控制特性与直流电机相同。
该控制实际上实现了对PMSM的解耦控制，使定子电流只用于产生电磁转矩，通过调节交轴分量大小即可控制电磁转矩的大小，该方法控制简单、调速范围宽、转矩特性好，而且能有效的降低铜耗，常用于要求较高的控制场合，在PMSM的矢量控制中应用最为广泛。
其缺点是，随着输出转矩的增大，漏感压降增大，功率因数降低；同时由于没有弱磁电流，电机调速范围有限。
本文将采用\(i_d=0\)控制策略。
(2)功率因数\(cos\varphi=1\)控制
令电机的功率因数恒为1，逆变器的容量得到了充分的利用，但是这种方式的最大转矩输出比较小，使退磁系数较大，永磁体退磁的风险相对增加很多，因此电机的电磁转矩和效率都会受到该影响而严重下降。
(3)恒磁链控制
该方法是控制的定子电流磁场分量，使电机气隙磁链在运行过程中始终保持恒定，并满足\(\Psi_\delta=\Psi_f\)。
在功率因数较高时，这种方法可以使得输出转矩的上限得到提升，但又会受到其限制。
(4)弱磁控制
实现弱磁控制的方法有多种多样，一般用的是纵轴电流负反馈补偿控制，在基速以上进行弱磁调速时，通过对直轴分量<0
的控制，达到去磁作用。但如果电动机在弱磁恒功率区运行时，使用弱磁控制法不能达到良好控制效果，因此该法只能适用于电机短期运行。
(5)最大转矩/电流(MTPA)控制
在凸极永磁同步电机中，通过控制\(i_d\)来获得最大转矩，也可称作单位电流输出最大转矩的控制。
由于逆变器需要的输出电流小，适合选用较小的逆变器，能在电机输出转矩满足要求的条件下，使定子电流最小，减小了电机的铜耗，有利于降低系统损耗，降低系统运行成本，提高系统效率。在该方案的基础上，再采用适当的弱磁控制，可以改善电机高速运行时的性能。但是随着输出转矩的增大功率因数下降比较多。
参考资料
- 郭庆鼎,孙宜标,王丽梅. 现代永磁电动机交流伺服系统[M]. 北京:中国电力出版社,2006
- 袁登科,徐延东,李秀涛. 永磁同步电动机变频调速系统及其控制[M]. 北京:机械工业出版社,2015
- 阮毅,杨影,陈伯时. 电力拖动自动控制系统——运动控制系统(第四版)[M]. 北京:机械工业出版社,2016
- 龙明贵. 永磁同步电机矢量控制分析[D]. 西南交通大学,2012
- 张东亮,艾兴,许传俊,张承瑞. 基于DSP的永磁同步电机软件式交流伺服系统[J]. 山东工业大学学报,2001,31(3):222-229
- CSDN—沉沙丶—永磁同步电机矢量控制系列教程
- CSDN—SpringLtc—FOC电机控制之SVPWM原理与实现