线性系统理论课程笔记
对应教材内容第四章 线性系统的能控性和能观测性的内容
能控性与能观测性的定义
系统内部每一个状态变量都可由输入定量影响，则系统状态完全能控；
系统内部每一个状态变量都可由输出完全反映，则系统状态完全能观。
线性时不变系统的能控性判据
格拉姆矩阵判据
线性时不变系统为完全能控的充分必要条件为存在时刻\(t_1>0\)使如下定义的格拉姆矩阵为非奇异（不满秩的方阵、行列式为0的方阵）
\({W_c}[0,{t_1}]\mathop = \limits^\Delta
\int_0^{t_1} {e^{ - At}BB^T e^{-{A^T}t}dt}\)
秩判据
对线性时不变系统，构造能控判别矩阵\({Q_c} = [B,AB,{A^2}B, \cdot \cdot \cdot ,{A^{n - 1}}B]\)则系统完全能控的充要条件为\(rank(Q_c)=n\)（\(Q_c\)满秩）
【例1】\(\dot x = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&0 \\ 0&-5 \end{array}}\right]x + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 2 \end{array}}\right]u\)
\(Q_c=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} B&AB \end{array}}\right]=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&4 \\ 2&-10 \end{array}}\right]\)
\(rank(Q_c)=2\)，满秩，系统完全能控
【例2】\(\dot x = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} -1&-4&-2 \\ 0&6&-1 \\ 1&7&-1 \end{array}}\right]x + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&0 \\ 0&1 \\ 1&1 \end{array}}\right]u\)
\(Q_c=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} B&AB&A^2 B \end{array}}\right]=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&0&-4&*&*&* \\ 0&1&-1&*&*&* \\ 1&1&1&*&*&* \end{array}}\right]\)
\(rank(Q_c)=3\)，满秩，系统完全能控
注：前三列已经可以判定矩阵满秩，就可以判定整个矩阵满秩。
【例3】
图1
电路系统建模判定能控
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
i_1(t)=C\frac{dx_1}{dt} \\ i_2(t)=C\frac{dx_2}{dt} \\ x_1+Ri_1=u(t) \\
x_2+Ri_2=u(t) \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{
{\begin{array}{*{20}{c}} \dot x_1=-\frac{1}{RC}x_1+\frac{1}{RC}u \\ \dot
x_2=-\frac{1}{RC}x_2+\frac{1}{RC}u \end{array}} \right. \Rightarrow \dot
x=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} -\frac{1}{RC}&0 \\
0&-\frac{1}{RC} \end{array}} \right]x+\left[
{\begin{array}{*{20}{c}} \frac{1}{RC} \\ \frac{1}{RC}
\end{array}}\right]u\)
\(Q=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} B&AB
\end{array}}\right]=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
\frac{1}{RC}&-\frac{1}{(RC)^2} \\ \frac{1}{RC}&-\frac{1}{(RC)^2}
\end{array}}\right]\)
\(rank(Q_c)=1<2\)，不满秩，系统不能控
PBH判据
\(n\)维线性时不变系统完全能控的充分必要条件
\(rank[sI-A,B]=n\)或\(rank[\lambda_i-A,B]=n\)（\(\lambda_i\)为特征值）
【例4】\(\dot x = \left[
{\begin{array}{*{20}{c}} 4&0 \\ 0&-5 \end{array}}\right]x +
\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 2
\end{array}}\right]u\)
\([sI-A,B]=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
s-4&0&1 \\ 0&s-5&2 \end{array}}\right] \quad
\lambda_1=4,\lambda_2=-5\)
对\(\lambda_1=4\)有\(rank[\lambda_1-A,B]=2=n\)
对\(\lambda_2=-5\)有\(rank[\lambda_2-A,B]=2=n\)
得到系统完全能控。
约当规范型
①特征值互异的约当块最后一行对应的B阵中，该行元素不全为零。
②特征值相同的各约当块最后一行对应的B阵各行向量线性无关。
【例5】\(\dot x = \left[
{\begin{array}{*{20}{c}} {\lambda
_1}&1&{}&{}&{}&{}&{} \\{}&{\lambda
_1}&{}&{}&{}&{}&{} \\ {}&{}&{\lambda
_1}&{}&{}&{}&{} \\ {}&{}&{}&{\lambda
_1}&1&{}&{} \\ {}&{}&{}&{}&{\lambda
_1}&{}&{} \\ {}&{}&{}&{}&{}&{\lambda
_2}&1 \\ {}&{}&{}&{}&{}&{}&{\lambda _2}
\end{array}} \right]x + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0 \\
1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 1&1&2 \\ 0&0&1 \\
1&1&1 \\ 0&0&1 \end{array}}
\right]u\begin{array}{*{20}{c}}{} \\ { \leftarrow {b_{l11}}} \\ {
\leftarrow {b_{l12}}} \\ {} \\ { \leftarrow {b_{l13}}} \\ {} \\ {
\leftarrow {b_{l21}}} \end{array}\)
该例子中系统能控的充分必要条件是向量组\(\{b_{l11}、b_{l12}、b_{l13}\}\)线性无关以及\(\{b_{l21}\}\)线性无关（即不为零）。
该例子中两矩阵行向量均线性无关⇒系统完全能控。
注：任意一个向量组里只要有零向量，就一定线性相关。另外复习一下约当块相关知识。
总结：找出同一特征值的所有不含元素“1”的行，其对应于C阵的行向量组成一个行向量组，若所有这样的行向量组均线性无关，则系统完全能控。
线性时不变系统的能观性判据
格拉姆矩阵判据
\({W_0}[0,{t_1}]\mathop = \limits^\Delta \int_0^{t_1}{e^{ {A^T}t}{C^T}C{e^{At}}dt}\)是非奇异，则系统完全能观测。
秩判据
对\(n\)维连续时间线性时不变系统，系统完全能观测的充分必要条件为能观测性判别矩阵
\({Q_0} = \left[ \begin{gathered} C \\ CA \\
\vdots \\ C{A^{n-1}} \\ \end{gathered}\right] \quad
rank(Q_0)=n\)
【例6】\(\dot x = \left[
{\begin{array}{*{20}{c}} -1&-4&-2 \\ 0&6&-1 \\
1&7&-1 \end{array}}\right]x \quad y=\left[
{\begin{array}{*{20}{c}} 0&2&1 \\ 1&1&0
\end{array}}\right]x\)
\({Q_0} = \left[ \begin{gathered} C \\ CA \\
CA^2 \\ \end{gathered}\right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0&2&1 \\ 1&1&0 \\ 1&19&-3 \\ *&*&* \\
*&*&* \\ *&*&* \end{array}}\right] \Rightarrow
rank(Q_0)=3\)
满秩，系统完全能观
PBH判据
\(n\)维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为
\(rank\left[ \begin{gathered} SI-A \\ C \\
\end{gathered} \right] = n\)
或\(rank\left[\begin{gathered}{\lambda_i}I - A
\hfill \\ C \hfill \\ \end{gathered}\right] = n\quad
,\lambda_1,\lambda_2, \ldots \lambda_n\)为系统特征值
约当规范型
对\(n\)维连续时间线性时不变系统，若\(A\)为约当阵，系统完全能观测的充分必要条件是：
特征值互异的约当块第一列对应的\(C\)阵中，该列元素不全为零。
特征值相同的约当块第一列对应的\(C\)阵中，各列向量线性无关。
【例7】\(\dot x = \left[
{\begin{array}{*{20}{c}} -2&1&{}&{}&{}&{}&{}
\\{}&-2&{}&{}&{}&{}&{} \\
{}&{}&-2&{}&{}&{}&{} \\
{}&{}&{}&-2&{}&{}&{} \\
{}&{}&{}&{}&3&1&{} \\
{}&{}&{}&{}&{}&3&{} \\
{}&{}&{}&{}&{}&{}&3 \end{array}} \right]x \quad
y=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0&1&0&0
\\ 0&0&4&0&1&0&4 \\
0&0&0&7&0&0&1 \end{array}}
\right]x\)
该例子中系统能观的充分必要条件是向量组\(\left[
{\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0 \\ 0&4&0 \\ 0&0&7
\end{array}}\right]\)与向量组\(\left[
{\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \\ 1&4 \\ 0&1
\end{array}}\right]\)列向量线性无关。
该例子中两矩阵列向量均线性无关⇒系统完全能观。
总结：找出同一特征值的所有不含元素“1”的列，其对应于C阵的列向量组成一个列向量组，若所有这样的列向量组均线性无关，则系统完全能观。
能控规范型和能观测规范型
能控规范型
基于线性非奇异变换\(\bar X = {P^{ -
1}}X\)导出
\(\dot {\bar x} = { {\bar A}_c} \bar x + {
{\bar b}_c}u\)
\(y = { {\bar c}_c} \bar x\)
\({\bar A_c} = {P^{ - 1}}AP = \left[
{\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&{}&{}&{} \\
0&0&1&{}&{} \\ \vdots &{}&{}& \ddots &{}
\\ 0&{}&{}&{}&1 \\ { - {\alpha_0}}&{ -
{\alpha_1}}&{}& \cdots &{ - {\alpha_{n - 1}}} \end{array}}
\right] \quad {\bar b_c} = {P^{ - 1}}b = \left[ \begin{gathered} 0
\hfill \\ 0 \hfill \\ \vdots \hfill \\ 1 \hfill \\ \end{gathered}
\right] \quad {\bar c_c} = cP = \left[ { {\beta _0},{\beta _1}, \cdots
{\beta _{n - 1}}} \right]\)
\(\det (sI - A)\mathop = \limits^\Delta {s^n}
+ {\alpha _{n - 1}}{s^{n - 1}} + \cdots + {\alpha _1}s + {\alpha
_0}\)
\(\left\{ \begin{gathered}{\beta _{n - 1}} =
cb \hfill \\{\beta _{n - 2}} = cAb + {\alpha_{n - 1}}cb \hfill \\ \cdots
\hfill \\{\beta _1} = c{A^{n - 2}}b + {\alpha_{n - 1}}c{A^{n - 3}}b +
\cdots + {\alpha_2}cb \hfill \\{\beta _0} = c{A^{n - 1}}b + {\alpha_{n -
1}}c{A^{n - 2}}b + \cdots + {\alpha_1}cb \hfill \\\end{gathered}
\right.\)
【例8】\(\dot x = \left[
{\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&2 \\ 2&1&1 \\
1&0&-2 \end{array}}\right]x + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1
\\ 2 \\ 1 \end{array}}\right]u \quad y=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0&1&1 \end{array}}\right]x\)
\(\det (sI - A) = s^3-5s+4 \quad \Rightarrow
\quad \alpha_0=4,\alpha_1=-5,\alpha_2=0\)
\(\beta_2=cb=3\)
\(\beta_1=cAb+\alpha_2 cb=4\)
\(\beta_0=cA^2 b+\alpha_2 cAb+\alpha_1
cb=0\)
\(\Rightarrow \dot {\bar x} = \left[
{\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&0 \\ 0&0&1 \\
-4&5&0 \end{array}}\right]\bar x + \left[
{\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}}\right]u \quad y=\left[
{\begin{array}{*{20}{c}} 0&4&3 \end{array}}\right]\bar
x\)
能观测规范型
基于线性非奇异变换\(\hat X =
QX\)导出
\(\dot {\hat x} = { {\hat A}_o}\hat x + {
{\hat b}_o}u\)
\(y = { {\hat c}_o}\hat x\)
\(\hat A_o = QA{Q^{ - 1}} = \left[
{\begin{array}{*{20}{c}} 0&\cdots&0&-{\alpha_0} \\
1&\cdots&0&-{\alpha_1} \\
\vdots&\ddots&\vdots&\vdots \\
0&\cdots&1&-{\alpha_{n-1}} \end{array}}\right] \quad \hat
b_o = Qb = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\beta _0} \\ {\beta _1} \\
\vdots \\ {\beta _{n - 1}} \end{array}} \right] \quad \hat c_o = cQ^{-1}
= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&\cdots&0&1 \end{array}}
\right]\)
【例9】求【例8】的能观测规范型：
\(\dot {\hat x} = \left[
{\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&-4 \\ 1&0&5 \\
0&1&0 \end{array}}\right]\hat x + \left[
{\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 4 \\ 3 \end{array}}\right]u \quad y=\left[
{\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&1 \end{array}}\right]\hat
x\)
连续时间线性时不变系统的结构分解
对于不完全能控或能观的系统，可以将其分解为能控/能观子系统与不能控/不能观子系统。