《电力拖动自动控制系统——运动控制系统(第五版)》学习笔记
本节内容对应书中第三章 转速闭环控制的直流调速系统
第一节 有静差的转速闭环直流调速系统；对应页码p28-p38
比例控制转速闭环直流调速系统的结构与静特性
转速开环控制系统对负载扰动没有任何抑制作用。因此要引入负反馈，构成转速闭环的控制系统。
图1 比例控制转速闭环直流调速系统原理框图
图中\(U_n^*\)为给定电压，\(U_n\)为反馈电压，其大小与被测转速成正比。给定电压与反馈电压做差得到转速偏差电压\(\Delta {U_n}\)。转速偏差电压经过比例放大器A放大后得到控制电压\(U_c\)，控制电压是实际加到电力电子变换器UPE（相控整流器或PWM变换器）的电压值。系统其余部分与开环系统相同。
比例控制转速闭环直流调速系统各个环节关系式（忽略非线性因素、忽略控制器电源与电位器内阻）：
电压比较环节：\(\Delta {U_n} = U_n^* - {U_n}\)
比例放大器：\({U_c} = {K_p}\Delta {U_n}\)（\(K_p\)为比例系数）
测速反馈环节：\({U_n} = \alpha n\)（\(\alpha\)为转速反馈系数，单位V·min/r）
电力电子变换器：\({U_{d0}} = {K_s}{U_c}\)
直流电动机：\(n = \frac{ { {U_{d0} } - {I_d}R} } {C_e}\)
根据上述关系式，可以得到系统稳态结构框图如下所示：
图2 比例控制转速闭环直流调速系统稳态结构框图
将给定量\(U_n^*\)与扰动量\(-{I_d}R\)看作两个独立的输入量，求其单独作用时的输入输出关系式，再将二者结果叠加得到闭环调速系统静特性方程式：
\[n = \frac{ { {K_p} {K_s}U_n^* - {I_d}R} } {
{ {C_e} (1 + {K_p} {K_s}\alpha /{C_e} ) } } = \frac{ { {K_p} {K_s}U_n^*}
} { { {C_e} (1 + K) } } - \frac{ {R{I_d} } } { { {C_e} (1 + K) }
}\] 这里取闭环系统的开环放大系数\(K =
\frac{ { {K_p} {K_s}\alpha } } {C_e}\)。
开环系统机械特性和比例闭环系统静特性的对比分析
开环系统机械特性： \(n = \frac{ { {U_{d0} }
- {I_d}R} } { { {C_e} } } = \frac{ { {K_p} {K_s}U_n^*} } { { {C_e} } } -
\frac{ {R{I_d} } } { { {C_e} } } = {n_{0op} } - \Delta {n_{op}
}\)
其中\(n_{0op}\)为开环系统的理想空载转速，\(\Delta n_{op}\)为开环系统的稳态速降。
比例闭环系统静特性： \(n = \frac{ { {K_p}
{K_s}U_n^*} } { { {C_e} (1 + K) } } - \frac{ {R{I_d} } } { { {C_e} (1 +
K) } } = {n_{0cl} } - \Delta {n_{cl} }\)
其中\(n_{0cl}\)为闭环系统理想空载转速，\(\Delta n_{cl}\)为闭环系统的稳态速降。
当\(K\)值较大时，\(\Delta n_{cl}\)比\(\Delta n_{op}\)小得多，二者关系为：\(\Delta {n_{cl} } = \frac{ {\Delta {n_{op} } } } {
{1 + K} }\)。
由此可知，闭环系统静特性比开环系统机械特性要硬的多。
闭环系统静差率\({s_{cl} } = \frac{ {\Delta
{n_{cl} } } } { { {n_{0cl} } } }\)；开环系统静差率\({s_{op} } = \frac{ {\Delta {n_{op} } } } { {
{n_{0op} } } }\)。
当\({n_{0op} } = {n_{0cl}
}\)时，有\({s_{cl} } = \frac{ { {s_{op}
} } } {1 + K}\)。
由此可知，理想空载转速一致时，闭环系统静差率比开环系统小得多。
若两者最高转速都为\(n_N\)，最低速静差率都为\(s\)，则有\({D_{cl} } = (1 + K){D_{op} }\)。
由此可知，系统要求静差率一定时，闭环系统可以有更大的调速范围。
图3 闭环系统静特性和开环系统机械特性的关系
闭环系统静特性和开环系统机械特性如上图所示。
在开环状态下，提高负载，负载电流\(I_d\)增大，转速会有明显的下降，如图中从A点到A'点。
转速闭环状态下，转速下降时，测速反馈电压\(U_n\)会相应的减小，使得给定电压与反馈电压差值\(\Delta U_n\)变大，进而使控制电压\(U_c\)与整流器输出电压\(U_{d0}\)成比例变大，最终使转速\(n\)有所回升，显著降低稳态速降，如图中从A点到B点。
也就是说，在闭环系统中，每增加（或减少）一点负载，就相应地提高（或降低）一点电枢电压，使电动机在新的机械特性下工作。比例控制直流调速系统能够减少稳态速降的实质在于它的自动调节作用，在于它能随着负载的变化而相应地改变电枢电压，以补偿电枢回路电阻压降的变化。
闭环直流调速系统的反馈控制规律
- 只有比例放大器的反馈控制系统，其被调量仍是有静差的。静差率\(\Delta {n_{cl} } = \frac{ {R{I_d} } } { { {C_e}(1 + K)} }\)，无论K为多少，静差率都不为零，过大的K值会使系统不稳定。
- 反馈控制系统的作用是：抵抗扰动，服从给定 。它能够有效地抑制一切被包含在负反馈环内前向通道上的扰动作用，但对给定信号的任何变化都是唯命是从。
- 系统的精度依赖于给定和反馈检测的精度。反馈控制系统无法鉴别是给定信号的正常调节还是外界的电压波动。反馈通道上有一个测速反馈系数，它同样存在着因扰动而发生的波动，由于它不是在被反馈环包围的前向通道上，因此也不能被抑制。
比例控制转速闭环系统的稳定性
转速反馈控制直流调速系统的动态数学模型
比例放大器传递函数：\({W_a}(s) = \frac{ {
{U_c} (s) } } { {\Delta {U_n}(s)} } = {K_p}\)
电力电子变换器传递函数：\({W_s}(s) \approx
\frac{ { {K_s} } } { { {T_s}s + 1} }\)
注：参考运动控制系统02-晶闸管整流器——直流电动机系统与运动控制系统03-PWM变换器——电动机系统，相控整流器或PWM变换器的近似传递函数相同，只是不同场合下\(K_s\)与\(T_s\)的数值不同。
测速反馈环节传递函数：\({W_{fn} }(s) = \frac
{U_n(s)} {n(s)} = \alpha\)
注：参考运动控制系统01-绪论与运动控制系统02-晶闸管整流器——直流电动机系统
图4 他励直流电动机在额定励磁下的等效电路
(1)电压方程（假设主电路电流连续）
\[{U_{d0} } = R{I_d} + L\frac{ {d{I_d} } } {
{dt} } + E\] (2)转矩方程
额定励磁下的电磁转矩：\({T_e} = {C_m}
{I_d}\)
额定励磁下的感应电动势：\(E =
{C_e}n\)
电动机轴上的动力学方程（忽略粘性摩擦及弹性转矩）：\({T_e} - {T_L} = \frac{ {G{D^2} } } { {375} }\frac{
{dn} } { {dt} }\)
其中，
\(T_L\)——包括电动机空载转矩在内的负载转矩(N·m)
\({GD}^2\)——电力拖动装置折算到电动机轴上的飞轮惯量(N·㎡)
\({C_m} = \frac{ {30} } {\pi }
{C_e}\)——电动机额定励磁下的转矩系数(N·m/A)
上述式子可整理为： \[{U_{d0} } - E =
R({I_d} + {T_l}\frac{ {d{I_d} } } {dt})\] \[{I_d} - {I_{dL} } = \frac{ { {T_m} } } {R}\frac{
{dE} } { {dt} }\] 其中，
\({T_l} =
\frac{L}{R}\)——电枢回路电磁时间常数(s)
\({T_m} = \frac{ {G{D^2}R} }{ {375{C_e}{C_m} }
}\)——电力拖动系统机电时间常数(s)
\({I_{dL} } =
\frac{T_L}{C_m}\)——负载电流(A)
\[\frac{ { {I_d}(s)} }{ { {U_{d0} }(s) - E(s)} } = \frac{ {\frac{1}{R} } }{ { {T_1}s + 1} }\] 电流与电动势间的传递函数为
\[\frac{ {E(s)} }{ { {I_d}(s) - {I_{dL} }(s)} } = \frac{R}{ { {T_m}s} }\] 通过上述两个式子与公式\(E = {C_e}n\)，可得额定励磁下直流电动机的动态结构框图如下图所示：
图5 额定励磁下直流电动机的动态结构框图
图6 直流电动机动态结构框图的变换
图7 转速反馈控制直流调速系统的动态结构框图
比例控制闭环直流调速系统的动态稳定性
转速反馈控制的直流调速系统的开环传递函数：
\[W(s) = \frac{ { {U_n}(s)} }{ {\Delta
{U_n}(s)} } = \frac{K}{ {({T_s}s + 1)({T_m}{T_l}{s^2} + {T_m}s + 1)}
}\] 其中\(K = {K_p}{K_s}\alpha
/{C_e}\)
转速反馈控制的直流调速系统的闭环传递函数：
\[{W_{cl} }(s) = \frac{ {n(s)} }{ {U_n^*(s)}
} = \frac{ {\frac{ { {K_p}{K_s}/{C_e} } } { {({T_s}s +
1)({T_m}{T_l}{s^2} + {T_m}s + 1)} } } }{ {1 + \frac{ { {K_p}{K_s}\alpha
/{C_e} } }{ {({T_s}s + 1)({T_m}{T_l}{s^2} + {T_m}s + 1)} } } } = \frac{
{ {K_p}{K_s}/{C_e} } }{ {({T_s}s + 1)({T_m}{T_l}{s^2} + {T_m}s + 1) + K}
}\] \[= \frac{ {\frac{ { {K_p}{K_s} }
}{ { {C_e}(1 + K)} } } }{ {\frac{ { {T_m}{T_l}{T_s} } }{ {1 + K} }{s^3}
+ \frac{ { {T_m}({T_l} + {T_s})} }{ {1 + K} }{s^2} + \frac{ { {T_m} +
{T_s} } }{ {1 + K} }s + 1} }\]
由上式可知，比例控制闭环系统的特征方程为\(\frac{ { {T_m}{T_l}{T_s} } }{ {1 + K} }{s^3} +
\frac{ { {T_m}({T_l} + {T_s})} }{ {1 + K} }{s^2} + \frac{ { {T_m} +
{T_s} } }{ {1 + K} }s + 1 = 0\)
对于三阶系统\({a_0}{s^3} + {a_1}{s^2} + {a_2}s
+ {a_3} = 0\)，其劳斯判据判断系统稳定的充分必要条件是\(a_0>0\),\(a_1>0\),\(a_2>0\),\(a_3>0\),\({a_1}{a_2}-{a_0}{a_3}>0\)
这里特征方程各项系数均大于0符合要求，故其系统稳定条件为\(\frac{ { {T_m}({T_l} + {T_s})} }{ {1 + K} } \cdot
\frac{ { {T_m} + {T_s} } }{ {1 + K} } - \frac{ { {T_m}{T_l}{T_s} } }{ {1
+ K} } > 0\)
整理后得\(K < \frac{T_m}{T_s} +
\frac{T_m}{T_l} + \frac{T_s}{T_l}\)
取系统的临界放大系数\(K_{cr} = \frac{T_m}{T_s}
+ \frac{T_m}{T_l} + \frac{T_s}{T_l}\)，则当\(K \geqslant
K_{cr}\)时，系统将不稳定。
通常情况下，K值越大意味着系统的稳态误差越小，稳态性能越好，而上述计算却说明K值增大会降低系统的动态性能，K值过大甚至会使系统不稳定。由此可见，比例控制闭环系统的动态稳定性和稳态性能的要求是矛盾的。