这一专栏将介绍开关磁阻电机的控制策略与各类优化电机控制性能的方法，为接下来的课题研究提供参考。本文将介绍直接转矩控制。
参考文献1、8、9、11
概述
直接转矩控制(Direct Torque Control, DTC)通过对磁链与转矩的精确估算，再结合电压矢量表与功率变换器来实现对磁链轨迹的控制，从而控制转矩的稳定。
图1
直接转矩控制
直接转矩控制原理图如上图所示，可以看到系统主要模块有转矩与磁链滞环模块、转矩与磁链计算模块、扇区判断模块、电压矢量开关表、功率变换器构成。
首先根据电压、电流与转子位置信息，计算得到开关磁阻电机的磁链和转矩，与给定的磁链与转矩进行比较做差，所得的差值通过滞环控制比较器，进入电压矢量开关表模块，与其中的矢量进行对比得到各个开关管开通或关断的信息，进而控制电机的转动，使实际的瞬时转矩能够快速跟上给定的电磁转矩，实现对转矩的直接控制。
控制系统设计为双闭环结构，其中转速环为外环，磁链和转矩为内环。
原理
下面分析转矩与磁链计算的原理：
开关磁阻电机（第\(k\)相）的电压平衡方程为
\(U_k=R_k i_k-e_k=R_k i_k +
\frac{d\Psi_k}{dt}\)①
相绕组磁链\(\Psi_k\)可以表示为电感\(L_k\)与电流\(i_k\)的乘积
\(\Psi_k(\theta,i_k)=L_k(\theta,i_k)i_k\)②
由式①②可以得到相电压
\(u=Ri+\frac{d\Psi(i,\theta)}{dt}=Ri+\frac{\partial
\Psi(i,\theta)}{\partial i}\frac{di}{dt}+\frac{\partial
\Psi(i,\theta)}{\partial \theta}\frac{d \theta}{dt}\)③
功率\(P=Ui=Ri^2+i\frac{\partial
\Psi(i,\theta)}{\partial i}\frac{di}{dt}+i\frac{\partial
\Psi(i,\theta)}{\partial \theta}\frac{d \theta}{dt}\)④
其中\(Ri^2\)被消耗在绕组上，剩下的是有功功率\(P_e=i\frac{\partial \Psi(i,\theta)}{\partial
i}\frac{di}{dt}+i\frac{\partial \Psi(i,\theta)}{\partial \theta}\frac{d
\theta}{dt}\)⑤
磁共能方程为
\(W_e=P_e dt=W_f+W_m=i\frac{\partial
\Psi(i,\theta)}{\partial i}{di}+i\frac{\partial \Psi(i,\theta)}{\partial
\theta}{d \theta}\)⑥
磁共能分为两部分，其中\(W_f\)为磁场储能，\(W_m\)为机械能，被输出到负载转矩。
假设电流保持稳定不变，则电磁转矩（瞬时转矩）表达式为
\(T_e=\frac{dW_m}{d\theta}|_{i=const}=\frac{d(W_e-W_f)}{d\theta}|_{i=const}=i\frac{\partial
\Psi(i,\theta)}{\partial \theta}-\frac{dW_f}{d\theta}\)⑦
由于开关磁阻电机运行过程中磁路饱和，转子位置角\(\theta\)对磁场储能\(W_f\)的影响可以忽略不计，因此上式可简化为
\(T_e=i\frac{\partial \Psi(i,\theta)}{\partial
\theta}\)⑧
因开关磁阻电机绕组阻值较小，忽略绕组电压，则在一个趋近于零的时间间隔内，瞬时磁链表达式为
\(\Delta\Psi(\theta,i)=U\Delta t\)⑩
做离散化处理，可以进一步得到
\(\Psi(k)=\Psi(k-1)+U(k)T_s\)⑪
式中\(T_s\)为采样周期，注意这里的k的含义是第k个时刻，下角标k表示的才是第k相。
定子磁链与电压在矢量上的关系如下图所示：
图2 定子磁链电压矢量关系
由式⑪可知，可以通过控制电压的方式来控制磁链，设电压矢量\(U(k)\)与磁链矢量\(\Psi(k)\)的夹角为\(\gamma\)。
若\(\gamma\)为锐角（\(|\gamma|<90^\circ\)），则电压矢量增大时合成矢量\(\Psi(k+1)\)幅值会增加；
若\(\gamma\)为钝角（\(|\gamma|>90^\circ\)），则电压矢量增大时合成矢量\(\Psi(k+1)\)幅值会减小；
若\(\gamma\)为直角或施加零矢量电压，则电压矢量增大或减小时合成矢量\(\Psi(k+1)\)幅值基本保持不变。
综上，可以根据定子磁链幅值的大小，通过施加不同的电压矢量调节定子磁链幅值，使定子磁链幅值保持恒定。
注：图中为便于分析电压矢量对合成磁链矢量幅值的影响，将\(U(k)\)画的很大。但实际上电压矢量\(U(k)\)要看作一个很小的值，这时上述结论才近似成立。
由式⑧，通常认为电流保持恒定、单极性，这时电磁转矩取决于\(\frac{\partial \Psi(i,\theta)}{\partial
\theta}\)大小。
\(\frac{\partial \Psi(i,\theta)}{\partial
\theta}>0\)时，定子磁链超前于转子位置角，电磁转矩方向为正，转速变快。
\(\frac{\partial \Psi(i,\theta)}{\partial
\theta}<0\)时，定子磁链滞后于转子位置角，电磁转矩方向为负，转子处于制动状态，转速将会随着电流的下降而下降。
基于以上分析，磁链幅值保持一定时，如果要增大电磁转矩，应该使磁链超前于转子位置角（电压矢量超前于磁链）；如果要减小电磁转矩，应该使磁链滞后于转子位置角（电压矢量滞后于磁链）。
那么问题来了，磁链超前于转子位置角是转矩大于零并增大转速，还是增大转矩？
功率变换器工作状态
电压矢量的输出是通过功率变换器实现的，因此选择合适的电压矢量实质是选择功率变换器中开关器件合适的开关状态。功率变换器采用不对称半桥结构，下面介绍功率变换器的三种工作状态。
图3
功率变换器工作状态
“1”状态：\(T_1\)、\(T_2\)导通，绕组中施加正向电压，为励磁阶段。绕组通电，绕组从电源吸收电能，电流迅速上升，电感中存储一定能量。在正电压的作用下，输出转矩会快速增大。
“0”状态：\(T_2\)、\(D_2\)导通，为续流阶段。若没有电流，绕组电流为零，若有电流，电流则会慢慢下降。输出转矩会缓慢减小。
“-1”状态：\(D_1\)、\(D_2\)导通，绕组中施加负电压，为反向励磁阶段（退磁模式）。绕组电流迅速下降。输出转矩会快速减小。
空间电压矢量选择
以三相开关磁阻电机为例，理论上其一共有27种工作状态，但实际上三相绕组不能同时导通或同时关断，也就是说不存在(1,1,1)与(0,0,0)状态，此外要求不能直接从“1”到“-1”,或从“-1”到“1”，中间需要有“0”状态来过渡。按照“1”到“0”再到“-1”的顺序避免了产生较大的电压跃迁，有利于减小转矩脉动，使合成转矩更平滑。最后选取6个互为对称的空间电压矢量（指方向相差180°的两个矢量各元素互为相反数），它们是\(V_1(1,0,-1)\)、 \(V_2(0,1,-1)\)、\(V_3(-1,1,0)\)、\(V_4(-1,0,1)\)、\(V_5(0,-1,1)\)、\(V_6(1,-1,0)\)。得到的空间电压矢量图如下图所示：
图4
空间电压矢量图
根据上文所述，若此时电机磁链位于\(V_1\)扇区，则\(V_2\)、\(V_6\)可以增加磁链，\(V_3\)、\(V_5\)可以减小磁链，\(V_2\)、\(V_3\)可以增加电磁转矩，\(V_5\)、\(V_6\)可以减小电磁转矩。
进而推导出一般原则，如下表所示：
| T↑ψ↑ | T↑ψ↓ | T↓ψ↑ | T↓ψ↓ | |
|---|---|---|---|---|
| 电压矢量 | \(V_{k+1}\) | \(V_{k+2}\) | \(V_{k-1}\) | \(V_{k-2}\) |
根据上述原则，可以得到三相开关磁阻电机的电压矢量开关表如下所示：
| \(V_1\) | \(V_2\) | \(V_3\) | \(V_4\) | \(V_5\) | \(V_6\) | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T↑ψ↑ | \(V_2\) | \(V_3\) | \(V_4\) | \(V_5\) | \(V_6\) | \(V_1\) |
| T↑ψ↓ | \(V_3\) | \(V_4\) | \(V_5\) | \(V_6\) | \(V_1\) | \(V_2\) |
| T↓ψ↑ | \(V_6\) | \(V_1\) | \(V_2\) | \(V_3\) | \(V_4\) | \(V_5\) |
| T↓ψ↓ | \(V_5\) | \(V_6\) | \(V_1\) | \(V_2\) | \(V_3\) | \(V_4\) |
经过磁链计算环节得到的是三相磁链矢量，需要将其转换为一个合成矢量，所得合成矢量将与给定的磁链矢量作比较，然后进入到滞环控制模块。
坐标变换与扇区划分
下面介绍坐标变换方法，这里采用的是3s/2s变换（三相静止到两相静止变换，Clarke变换）。
图5
Clarke变换
\[\left\{ \begin{gathered} |\Psi_s|=\sqrt{\Psi_a^2+\Psi_b^2} \hfill \\\delta=atan2(\frac{\Psi_\beta}{\Psi_\alpha}) \hfill \\ \end{gathered} \right.\] 注：式中
atan2为matlab函数，有两个输入量，其值域为\([-\pi,\pi]\)得到相角\(\delta\)后，便可确定磁链的扇区范围如下表所示：
| \(\delta\) | \([0,\frac{\pi}{3})\) | \([\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3})\) | \([\frac{2\pi}{3},\pi)\) | \([-\pi,-\frac{2\pi}{3})\) | \([-\frac{2\pi}{3},-\frac{\pi}{3})\) | \([-\frac{\pi}{3},0)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 扇区 | \(V_1\) | \(V_2\) | \(V_3\) | \(V_4\) | \(V_5\) | \(V_6\) |
注：这里使用扇区内的基本空间电压矢量来代指扇区。